Relatività Ristretta

Premessa:

Maxwell ha scoperto che la velocità della luce nel vuoto (c = 299.792.458 m/s) è costante e dipende dalle proprietà elettriche ε e magnetiche μ del  vuoto:

(1)

Gli esperimenti hanno scoperto che:  la  velocità della luce, misurata sia che ci si avvicini alla sorgente sia che ci si allontani,   è la stessa.  Questo è possibile solo se il tempo e  lo spazio si considerano  variabili con la velocità del sistema. La teoria della relatività, considerando variabili spazio e tempo, pone le condizioni che:

  1. Le leggi della fisica siano uguali per tutti i sistemi di rifermento inerziali;
  2. La velocità della luce nel vuoto sia la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Considerato che la luce è costante la utilizziamo per misurare lo spazio e il tempo.  Ipotizziamo che il tempo (proprio del sistema in moto) sia scandito dalla rapidità con cui la luce percorre lo spazio unitario nelle due direzioni; mentre lo spazio  sia calcolato come la distanza  percorsa dalla luce nel tempo unitario.

Nel filmato si considerano 2 sfere (che rappresentano 2 sistemi di riferimento), la prima ferma, l’altra in moto con velocità v=c/2. La condizione affinché le sfere abbiano tale forma  è che i raggi di luce, partendo dal centro ed aver riflesso sulle pareti della sfera,  ritornano al centro contemporaneamente.                                                                        Si osserva che: Nella sfera ferma i raggi di luce ritornano al centro contemporaneamente dopo un tempo t.                                                                      Nella sfera in moto i raggi ritornano contemporaneamente al centro:                                      1) dopo un tempo t’ maggiore di t ;                                                                                     2) a condizione che lo spazio lungo la direzione del moto dx’ sia più contratto;             Si rileva che, mentre per l’osservatore interno i raggi toccano contemporaneamente le pareti, per l’osservatore esterno arrivano per primi i raggi vanno incontro alle pareti.     Cioè  eventi simultanei per un osservatore non lo sono per l’altro osservatore.                R.R. triangoloDilatazione del tempo t’. Per il sistema S’ in moto in direzione x, il raggio di luce  in moto in direzione y, percorre una diagonale ed  impiega un tempo t’ >t. In tale tempo la sfera si sposta di  v*t’.  Possiamo considerare il triangolo rettangolo avente come cateti: il raggio lungo Y r = c*t e lo spostamento dx’ = v*t’, mentre come ipotenusa la diagonale c*t’. Per il teorema di Pitagora:    (c*t)^2 = (c*t’)^2 – (v*t’)^2.  Dalla suddetta equazione si ricava la dilatazione del tempo: t’  = t/(1- v2/ c2)1/2 = t/0,866.                         se poniamo                                                            (1- v2/ c2)1/2 = γ      →      t’ = t / γ      (2)                                           Unità di tempo t   |————|                        Unità di tempo t’    |—————|  

Contrazione dello spazio x’.      Il raggio di luce nella direzione x impiega un tempo        t’ = r/(c+v) se la parete va incontro al raggio, mentre impiega un tempo  t” = r/(c-v) se la parete si allontana dal raggio.   Il tempo totale di andata e ritorno risulta allora :             t’+t’’ = r/(c+v)+r/(c-v) =    r(c+v +c-v) / (c2-v2)  =   2rc/(c2-v2)  =   2r/c/(1- v2/c2)          →               tx = r/c/(1- v2/c2)  = t /(1- v2/c2)                →              tx =  t / γ2            (3)                 Tale tempo risulterebbe ancora più lungo  rispetto al tempo dilatato  t’ = t / γ di un fattore 1/γ.  Considerato che una sfera per essere tale tutti i raggi devono arrivare al centro contemporaneamente, questa maggiore dilatazione del tempo lungo la direzione del moto x  è compensato con la contrazione dello spazio L’ = L* γ lungo x.                                  Unità di lunghezza L  |—————|               Unità di lunghezza L’  |————|     

Composizione delle velocità. Consideriamo i due sistemi di riferimento S ed S’ con S’ in moto con velocità v rispetto al sistema S fermo. Si è visto che il tempo t’ di S’ scorre più lentamente del tempo t di S, mentre la lunghezza L’ di S’ è più corta della lunghezza L di S. Se γ = (1- v2/c2) = 0,8 il tempo t’ trascorso per S’ è:  t’ = γ*t = 0,8*t, mentre la lunghezza  (nella direzione del moto) è:  s/γ = s/0,8.     Considerata la velocità v = s / t, se  si potesse misurare lo spazio s ed il tempo t con le unità di misura del sistema S’  si otterrebbe la lunghezza s/γ, il tempo t*γ, e la velocità :  v’ = ( s/γ) / (t* γ) = (s/t)/ γ2       ossia                        v’ = v/(1- v2/c2)          (1)                                                                              La (1) è la relazione che lega la velocità vista dal sistema S e la stessa velocità vista dal sistema S’  considerando la variazione spazio tempo.                                     Consideriamo, adesso, un corpo  in moto con velocità v  ed il sistema S’ in moto con velocità u entrambi rispetto ad S. Vogliamo conoscere la velocità v’ del corpo  rispetto al sistema S’. Se i sistemi avessero stesse unità di misura la velocità relativa sarebbe quella classica:   v’ = v – u   (2)  poiché, invece, le unità di misura sono diverse, occorre tenere conto della relazione (1) tra gli spazi  e i tempi  del sistema S’ e del sistema corpo rispetto al sistema fisso S, ossia delle v ed u.                                                                Pertanto la velocità v’ sarà una combinazione della relazione (1) e della relazione (2) in cui compare oltre alla v anche la velocità u:               v’  = (v-u)/(1- u*v/c2         (3)               Si osservi la simmetria della formula rispetto alle velocità v ed u. Inoltre se S’ è fermo (u= 0) v’ = v; se il corpo è fermo (v = 0) v’ = -u.     Se u = – c   v’  = (v+ c)/(1+ v*c/c2) = c.

P.S.: Si può ritenere che la luce (la sua velocità) definisca la dimensione spaziale e temporale della materia. Se la luce avesse una velocità  inferiore a c  il mondo sarebbe più piccolo ed il tempo scorrerebbe più lentamente.  

Esiste un Sistema di Riferimento assoluto?

Premessa. La Teoria della Relatività Ristretta ipotizza che la luce ha la stessa velocità per qualsiasi sistema di riferimento, per cui essa esclude che si possa trovare la velocità assoluta di un sistema di riferimento, ossia esclude l’esistenza di sistemi di riferimento assoluto. E’ possibile ideare qualche esperimento che possa provare ciò?

Se consideriamo l’esperimento effettuato da Michelson-Morley (dove il sistema di riferimento è il pianeta Terra) osserviamo che due raggi  di luce compiono percorsi di andata e ritorno: dallo specchio semi-riflettente a due specchi e ritorno. L’esperimento dimostra che il tempo totale impiegato dai due raggi è uguale qualunque sia la velocità del sistema.   Si può supporre che le differenze di tempo dei due raggi si annullino nei percorsi di andata e ritorno?  Proviamo a ideare un esperimento che metta a confronto i tempi impiegati dai due raggi in percorsi di solo andata.

ESPERIMENTO: Consideriamo, ad esempio, un’asta solidale con la terra con centro B ed estremi A e C. Facciamo partire, nello stesso istante, dal centro B un raggio verso A e  un raggio verso C.    Quindi, con degli orologi sincronizzati posti in A e in C, misuriamo i tempi di arrivo dei raggi: ta  e tc.  Ripetiamo le misure in periodi diversi dell’anno, quindi con velocità diverse.

Caso 1: Se i tempi di arrivo risultassero sempre uguali: ta = t  (come prevede la relatività ristretta) non sarebbe possibile verificare il moto del sistema, per cui tutti i sistemi di riferimento sarebbero uguali (relativi), ossia NON esiste un sistema di riferimento assoluto.

 Caso 2: Se i tempi di arrivo sono diversi: ta ≠ t (asta in moto da A verso C) si  possono supporre le seguenti relazioni :Riferim Assoluto

  • raggio da B ad A: c*ta+v*ta = L      →    ta = L /(c+v)       (5a)
  • raggio da B a C: c*tc – v*tc = L       →    tc = L /(c-v)       (5b)      da cui:                                  c*ta+v*ta = c*tc – v*tc          →      c*(ta -tc) = – v*ta  – v*tc                     c*(tc -ta) = v*(tc +ta )       →     quindi    v/c = (tc -ta) /(tc +ta )

In questo caso è possibile calcolare la velocità del sistema come rapporto con la velocità della luce:  β = v/c =(tc -ta) /(tc+ta), ossia esiste un sistema di riferimento assoluto.

Principio di Minima Azione: padre di tutti i principi …

Sebbene il Principio di Minima Azione (che indicheremo in seguito con PMA) sia poco conosciuto dai più, esso può considerarsi come il padre di tutti i principi. Esso fu introdotto per primo da Maupertuis nel 1744.  Era già noto il principio di Fermat (1661 – 1665), che: un raggio di luce per andare da un punto a un altro, tra tutti i cammini possibili, percorrere il cammino che richiede il tempo più breve.                                      Il percorso di un raggio di luce che attraversa due mezzi a velocità diverse può essere rappresentato con l’esempio del problema del bagnino. Un bagnino posto sulla battigia deve soccorrere un bagnante in mare. Sapendo che il bagnino si muove sulla spiaggia con velocità maggiore che nell’acqua, si vuole determinare qual’è il percorso con il minor tempo per raggiungere il bagnante .                                                                  Partendo dal percorso della luce Maupertuis ipotizzò che anche un corpo soggetto a forze segue il percorso più economico ossia di minima azione, definendo con azione la quantità  S = m*v*s [massa*velocità*spazio] su tutto il percorso. Essa verrà espressa meglio da Eulero come: S = F*s*t [forza*spazio*tempo].                                                     Il principio di minima azione può esprimersi quindi: S = ∫F*s*dt = minimo.                        A differenza della legge di Newton, che permette di calcolare la traiettoria punto per punto, il PMA permette di trovare la sola traiettoria reale tra le tante possibili. In effetti, tale principio, contiene la legge di Newton.                                                                     Nel 1788 Lagrange utilizzò tale principio, per un sistema conservativo, mediante l’energia totale L del sistema. Successivamente, più in generale, Hamilton utilizzò l’energia totale H per un sistema qualunque e mostrò che le equazioni del moto si possono derivare dalla condizione di stazionarietà dell’azione (punti di minimo, massimo, flesso).

Fisica Newtoniana: Consideriamo un corpo P di massa m in moto, se vogliamo sapere la sua posizione nel tempo t dobbiamo conoscere: la sua posizione iniziale xio e velocità iniziale vio  (con i= x,y,z), nonché come varia la forza in ogni istante: Fi(t).              dalla 2° legge della dinamica:     F(t) = m*a(t)     si ricava    a(t) = F(t)/m      (1)          Nota l’accelerazione a(t) si ricava la velocità dopo un istante dt :    dv = a(t)*dt    (2)  ,   la posizione del corpo:  s(to+dt) = so + vo*dt + ½*dv*dt    (3)    e  la velocità: v= vo+ dv. E’ possibile, in tal modo, definire in ogni istante t la dinamica del corpo.  lagrangiana.pdf                       La posizione e la velocità (x, v) del moto sono dette proprietà locali del moto. Il prodotto cartesiano     F = R^3xR^3, delle coppie di ordinate: posizione e velocità (x, v), viene chiamato spazio degli stati o delle fasi.       La lunghezza della traiettoria, la variazione di energia o la variazione della quantità di moto su tutto il percorso, sono considerate, invece, proprietà globali scalari (scalari in quanto definibili con un numero).

Fisica Lagrangiana. Utilizzando la proprietà  globale energia del sistema la formulazione di Lagrange permette di definire la dinamica del moto. Calcoliamo allora tale grandezza su tutto il percorso.             Ad esempio:

  • se la forza F dipende dalla posizione la si può integrare per tutto il percorso           -V = ∫F(x) *dx , tale grandezza viene chiamata energia potenziale;
  • se la forza F dipende dal tempo la si può integrare per il percorso x espresso in funzione del tempo (x = v*t):  T = ∫F(t)*v *dt  e viene chiamata energia cinetica.

Troviamo quindi  l’energia totale E del sistema  somma dell’energia cinetica T = ½ m*v2 e dell’energia potenziale V. Pertanto   E(x,t) = ½ m*v2  – V .    Se si deriva  tale energia rispetto al tempo si ha:      dE/dt   = ½ m*d(v2)/dt – δV/δx*δx/δt = mv*a – F*v      →           dE/dt   = (m*a-F)*v    (4)   e per  la  2° legge di Newton (m*a – F = 0)    →     dE/dt = 0.

Coordinate lagrangiane. Poichè nel formalismo di Lagrange interessa l’energia totale E del sistema, invece delle coordinate cartesiane (x,y,z), vengono utilizzate le coordinate lagrangiane qi, cioè le coordinate libere che tengono conto dei vincoli, mentre si tralasciano le coordinate con spostamento-lavoro nullo.                Esempi: Se il punto materiale è vincolato a muoversi sulla superficie di una sfera di raggio R, come coordinate di Lagrange qi si considerano le coordinate polari (gli angoli) θ e φ che definiscono la latitudine e la longitudine del punto sulla superficie, mentre non viene considerata lo spostamento ortogonale alla superficie in quanto in tale direzione, lo spostamento è nullo così come il lavoro. Se il punto è vincolato, invece, lungo una curva, come coordinata lagrangiana q si considera la coordinata lunghezza della curva.   Equazione di Lagrange Le coordinate q costituiscono quindi i gradi di libertà del sistema e possono avere le dimensioni di una lunghezza, di un angolo, …                        Di conseguenza le velocità  lagrangiane q’ = dq/dt  non hanno sempre le dimensioni di una velocità [m/s].    L’energia totale L funzione di dette variabili è detta lagrangianaL=L(q,q’,t). Si trova che la  derivata  dE/dt = 0 (4)  in forma lagrangiana è:                                                              d/dt( δL/δq’) – δL/δq = 0      (4a)                                             La (4a) è composta da n equazioni  ed è scritta in funzione delle n coordinate  lagrangiane qi, (con i = 1,2, … n).  Le coordinate qi definiscono lo spazio C detto spazio delle configurazioni. (sinonimo di  posizioni permesse dai vincoli).                                 Si osserva che con la  d/dt( δL/δq’) si trovano le energie dipendenti dal tempo mentre nella δL/δq si trovano le energie dipendenti dalle coordinate  posizioni  qi .                     Esempio: Calcoliamo la lagrangiana (4a) per un corpo in moto verticale con velocità v soggetto a gravità g.  Il sistema ha coordinata lagrangiana q = h e q’ = dh/dt = v per  cui:   energia cinetica T = 1/2mv2   ed energia potenziale V(h) = – mg*h.             L’energia totale è:           L = T+V = 1/2mv– mg*h        (5)                                                 da essa troviamo che : dL/dh = 0 – mg          mentre     δL/δv = 2(1/2*m)v -0 = mv   e     d( δL/δv)/dt = ma per cui la Lagrangiana (4a):  dL/dh – d(δL/δv)/dt  =  ma – mg = 0,  ossia si ritrova la 2° legge del moto F = m*a.                                                                      Si osserva che dalla grandezze scalare energia totale del sistema si ricavano le equazioni del moto vettoriali nelle coordinate lagrangiane qi.                                  Consideriamo adesso l’energia totale del sistema  L per tutto il tempo t  del moto, cioè:     S = ∫L(q,q’,t)*dt     tale grandezza scalare è detta azione.                              Essa costituisce la somma dell’energia totale L per tutto il tempo del moto per cui è una grandezza globale.  Si dimostra che dalla condizione:  δS =  δ ∫L(q,q’,t)*dt = 0      (6)    si ricava il sistema di equazioni lagrangiane:  d/dt( δL/δq’) – δL/δq = 0   (4b).            L’equazione (6) può essere letta: le coordinate lagrangiane qi e le velocità  lagrangiane q’i devono avere valori tali che l’energia totale per il tempo t, sia nulla: δS = 0 (S minima),  ossia che la combinazione spazio*tempo in tutto il percorso sia minima.

Relatività Ristretta. Si fa rilevare che nella R.R. in sistemi di riferimento inerziali (in assenza di forze F = 0), lo spazio*tempo rimane costante: s’*t’ =  s*t. Infatti mentre lo spazio si contrae con la velocità lungo la direzione del moto il tempo si dilata: s’ = s*(1 – v2/c2)   e   t’ = t/(1 – v2/c2).  (Vedi Relatività Ristretta e Principio di Minima Azione)

  Se consideriamo adesso il PMA nella forma espressa da Eulero: S = F*s*t  [forza*spazio*tempo] e tenuto che F=0 in quanto sistemi di riferimento inerziali, l’azione S = F*s*t si riduce  solo allo spazio*tempo  s*t che, come visto sopra, risulta costante.  Possiamo ipotizzare che anche la relatività ristretta sia un caso particolare del PMA, o che almeno abbia un legame particolare.

Relatività Generale. In breve tale teoria nasce nel supporre che:

  • la massa gravitazionale e la massa inerziale siano la stessa cosa;
  • la gravità può essere sostituita localmente da una accelerazione;
  • la forza gravitazionale non si propaga istantaneamente ma alla velocità della luce.

Tenuto conto di quanto sopra: la R.G. sostituisce la forza gravitazionale F con la  curvatura dello spazio-tempo. Tale curvatura si propaga alla velocità della luce.            Se consideriamo adesso il PMA nella forma espressa da Eulero: S = F*s*t   [forza*spazio*tempo] non considerando la forza (gravitazionale) F. L’azione   S = F*s*t   si riduce  solo allo spazio*tempo  s*t e il moto avviene lungo linee geodetiche, che hanno (per definizione) lunghezza spazio-tempo minima. Sembra quindi che anche la R.G. , con le sue linee geodetiche, sia un caso particolare del PMA.

 

RIFERIMENTI CIRCOLARI E ITERAZIONI CON I FOGLI DI CALCOLO

Introduzione  Si premette che per la realizzazione dei suddetti esempi è stato utilizzato un foglio di calcolo Excel. Quando una formula fa riferimento direttamente o indirettamente alla propria cella, si verifica un riferimento circolare e il calcolo non viene eseguito. E’ possibile, tuttavia, consentire il funzionamento di un riferimento circolare attivando la casella di controllo Iterazioni. In questo caso il calcolo viene eseguito utilizzando i risultati dell’iterazione precedente. Si mostrerà come tale procedura sia utilissima per risolvere, con pochissime formule, molti calcoli iterativi: integrazioni di funzioni, calcolo radici di equazioni, calcolo equazioni differenziali, ecc..

Impostazione  Consentiamo, quindi, il funzionamento di un riferimento circolare.          1. Scegliere Opzioni dal menu Strumenti, quindi scegliere la scheda Calcolo.                2. Selezionare la casella di controllo Iterazioni;                                                                3. Impostare Numero massimo=1;                                                                                    4. Impostare il calcolo su Manuale.                                                                                      In tal modo: Tasto F9 calcola le formule di tutte le cartelle di lavoro; Tasto MAIUSC+F9 calcola solo le formule del foglio di lavoro attivo.

Con tale impostazione possiamo, scrivere adesso formule con riferimenti circolari. Ad esempio: ponendo la cella [A22] “= [A22]+1”, ad ogni F9 la cella [A22] aumenta di 1.

Alcune regole Creazione di variabili e di funzioni Per potere utilizzare l’iterazione è necessario che almeno una cella ad ogni iterazione vari il suo valore. Se, ad esempio, poniamo [A22] “=A22+A21”, con [A21] “=0,1” la [A22] ad ogni F9 si incrementa di 0,1 in questo modo abbiamo creato la variabile [A22] .Se scriviamo, allora, nella cella [A23] una formula contenente la variabile [A22] abbiamo reso la cella [A23] funzione della variabile [A22]. Iterando, infatti, n volte con F9 vengono calcolati n valore della funzione. Condizioni iniziali Con la formula [A22] “=A22+A21” la variabile [A22] ad ogni iterazione si incrementa di A21. Per resettare la variabile e potere ripartire da zero, si può utilizzare una cella “test” e scrivere la formula con la condizione: [A22] “= SE(A21;A22+1;0)” (che significa: se la cella A21=”VERO” (ovvero diversa da zero) allora A22=A22+1 (incremento), se invece A21=”FALSO” (ovvero uguale a zero) allora A22=0 (azzeramento). Per fare iniziare la variabile x (cella A21) con un valore xo deve essere utilizzata un’altra cella in cui deve porsi la formula: “=A22+xo” (vedi applicazione).

Posizione delle celle Bisogna tenere presente che nell’iterazione i calcoli non vengono eseguiti contemporaneamente in tutte le celle, ma iniziano dalla cella in alto a sinistra e finiscono con la cella in basso a destra. Pertanto la variabile deve essere posta prima della funzione. La funzione y(x), per il suddetto motivo, rimane indietro rispetto alla variabile x di un incremento dx. Si può tenere conto di ciò indicando in altra cella il valore effettivo della variabile “=x-dx” (tale cella non potrà essere utilizzata in altre celle per i calcoli).

Numero Iterazioni Se per il calcolo si pone: Numero massimo = n, ad ogni F9 il programma esegue n iterazioni. Si può, pertanto, utilizzare questa impostazione quando non è necessario conoscere i valori intermedi ma solo il valore finale del calcolo.

Applicazione Vediamo ora di applicare l’iterazione al metodo delle differenze finite per la risoluzione delle equazioni differenziali. Consideriamo l’Eq. Diff. : y’ = y, con la condizione iniziali y0 = 1. Per il calcolo utilizziamo il metodo delle linee spezzate di Eulero, per cui la y’(t) = y, viene calcolata passo passo: y1 = yo + y’o * dt ; y2 = y1 + y’1 * dt; … (con dt = 0.01). Per prima cosa, creiamo la cella “variabile”, ponendo [F21] = SE(A21=1;F21+0,01;0), in tal modo la cella ad ogni F9 si incrementa di 0.01.        poniamo inoltre:

  •  [E22] = SE(A21=1;E22+F22;0);
  •  [F22] = SE(A21=1;E23*0,01;0);
  • [E23] = 1+E22 cioè:
  • la [E22] = Σ(y’i * dt) inizia da 0 e ad ogni iterazione si incrementa di [F22];
  • la [F22] = y’i * dt calcola l’incrementino [E23]*0,01;
  • la [E23] = yi aggiunge il valore iniziale yo = 1 a Σ(y’i * dt).

All’iterazione ennesima, pertanto, viene calcolato il valore yn. Ponendo (dt=0,01) si ottiene y(1)= 2.705, mentre per dt=0,001 y(1)= 2.717 (il valore esatto è EXP(1) = 2.718…). (Una migliore approssimazione si ottiene se si applica la formula di RungeKutta). Per risolvere, quindi, una generica Equazione Differenziale x’= f(x,t) con qualsiasi condizione iniziale xo, si può porre:

  • [A2] = 0.001 = dt incremento
  • [A4] =SE(B2;A4+A2;dt)= t variabile (incrementata di dt)
  • [B2] = Falso (0) , Vero (1) (nome “res”) “Falso” per azzerare; “Vero” per iterare [C2] =1 = x0 = valore iniziale;
  • [B6] =A4-A2 = t-dt valore effettivo di t (ritardato di un dt);
  • [C4] = C5+C8*dt = somma l’incremento corrente C8*dt a tutti gli incrementi precedenti C5;
  • [C5] = SE(B2;C4;0) cioè: se B2=1(vero) C5=C4 ;
  • se B2=0(falso) C5=0 ;
  • [C6] = C2+C5 somma a tutti gli incrementi C5=Σ(xi*dt) il valore iniziale C2=x0; [C8] = C6 = x

In questa cella viene scritta l’ Eq. Diff. (nel nostro caso x’ =x ) Nell’iterazione la [C8]  rimane indietro rispetto a t di una iterazione dt, pertanto si fa partire il tempo t in anticipo di dt cioè: [A4] = t = SE(B2;A4+A2; dt) Si noti che, per il calcolo di una generica E.D., devono essere cambiate solo le celle [C2] e [C8]. Le rimanenti 7 celle costituiscono la “struttura” del programma. Utilizzando altre celle è possibile calcolare contemporaneamente altre Eq.Diff.

Nella figura

con le celle [C1:E8] si possono calcolare 3 E.D. (ovvero un sistema di 3 E.D.) del 1° ordine, mentre, con le celle [C10:E23] si possono calcolare 3 E.D. (ovvero un sistema di 3 E.D.) del 2° ordine. Nella colonna F sono state riportate le espressioni che devono essere scritte nelle celle di colonna E. Scritte le formule nelle celle in una colonna basterà trascinarle nelle altre 2 colonne per trascriverle.

Conclusione

Con tale procedimento:

  •  E’ facile creare “programmi” senza alcuna riga di programmazione;
  •  I “programmi” in genere sono costituiti da pochissime celle;
  • Ogni “programma” può essere clonato copiando il range di celle;
  • Utilizzando le diverse funzioni logiche del foglio elettronico è possibile inserire nel “programma” svariate condizioni di calcolo;
  • E’ possibile eseguire contemporaneamente diversi tipi di calcoli;
  • E’ possibile fare interagire più “programmi” utilizzando le funzioni logiche del foglio di calcolo;
  • Se, durante l’iterazione, i valori calcolati vengono riportati in una tabella, essi potranno essere rappresentati in un grafico a “dispersione (xy)”.

Sono rimasto meravigliato ed entusiasta per la semplicità e potenza di calcolo di tale procedimento: con poche cellette e senza alcuna riga di programmazione ho potuto calcolare integrali, radici di equazioni, equazioni differenziali, e risolvere contemporaneamente diverse equazioni o sistemi di equazioni differenziali !!!

Ritengo che le potenzialità di tale procedimento siano ancora poco conosciute e che molti altri aspetti devono essere studiati, sperimentati, e sviluppati. E’ molto gradita, pertanto, la partecipazione degli utenti interessati alla creazione di nuovi “programmi ” e allo sviluppo di tale procedimento di calcolo. Molti altri problemi, infatti, possono essere studiati con il metodo iterativo: equazioni dinamiche discrete, equazioni di La Place, … che spero di trattare in un prossimo articolo. Alcuni files con il suddetto procedimento sono scaricabili dal sito.

 

La Medaglia Miracolosa

“Tutte le persone che porteranno questa Medaglia riceveranno grandi grazie, specialmente portandola al collo”
“Le grazie saranno più abbondanti per le persone che la porteranno con fiducia”.

Queste sono state le straordinarie parole pronunciate dalla Madonna in occasione delle sue manifestazioni a Santa Caterina Labouré, nel 1830.

SUPPLICA ALLA MADONNA DELLA MEDAGLIA MIRACOLOSA

Da recitarsi alle 17 del 27 novembre, festa della Medaglia Miracolosa, in ogni 27 del mese e in ogni urgente necessità.

O Vergine Immacolata, noi sappiamo che sempre ed ovunque sei disposta ad esaudire le preghiere dei tuoi figli esuli in questa valle di pianto, ma sappiamo pure che vi sono giorni ed ore in cui ti compiaci di spargere più abbondantemente i tesori delle tue grazie. Ebbene, o Maria, eccoci qui prostrati davanti a te, proprio in quello stesso giorno ed ora benedetta, da te prescelta per la manifestazione della tua Medaglia.
Noi veniamo a te, ripieni di immensa gratitudine ed illimitata fiducia, in quest’ora a te sì cara, per ringraziarti del gran dono che ci hai fatto dandoci la tua immagine, affinché fosse per noi attestato d’affetto e pegno di protezione. Noi dunque ti promettiamo che, secondo il tuo desiderio, la santa Medaglia sarà il segno della tua presenza presso di noi, sarà il nostro libro su cui impareremo a conoscere, seguendo il tuo consiglio, quanto ci hai amato e ciò che noi dobbiamo fare, perché non siano inutili tanti sacrifici tuoi e del tuo divin Figlio. Sì, il tuo Cuore trafitto, rappresentato sulla Medaglia, poggerà sempre sul nostro e lo farà palpitare all’unisono col tuo. Lo accenderà d’amore per Gesù e lo fortificherà per portar ogni giorno la propria croce dietro a Lui. Questa è l’ora tua, o Maria, l’ora della tua bontà inesauribile, della tua misericordia trionfante, l’ora in cui facesti sgorgare per mezzo della tua Medaglia, quel torrente di grazie e di prodigi che inondò la terra. Fai, o Madre, che quest’ora, che ti ricorda la dolce commozione del tuo Cuore, la quale ti spinse a venirci a visitare e a portarci il rimedio di tanti mali, fai che quest’ora sia anche l’ora nostra: l’ora della nostra sincera conversione, e l’ora del pieno esaudimento dei nostri voti.
Tu che hai promesso, proprio in quest’ora fortunata, che grandi sarebbero state le grazie per chi le avesse domandate con fiducia: volgi benigna i tuoi sguardi alle nostre suppliche. Noi confessiamo di non meritare le tue grazie, ma a chi ricorreremo, o Maria, se non a te, che sei la Madre nostra, nelle cui mani Dio ha posto tutte le sue grazie? Abbi dunque pietà di noi.
Te lo domandiamo per la tua Immacolata Concezione e per l’amore che ti spinse a darci la tua preziosa Medaglia. O Consolatrice degli afflitti, che già ti inteneristi sulle nostre miserie, guarda ai mali da cui siamo oppressi. Fai che la tua Medaglia sparga su di noi e su tutti i nostri cari i tuoi raggi benefici: guarisca i nostri ammalati, dia la pace alle nostre famiglie, ci scampi da ogni pericolo. Porti la tua Medaglia conforto a chi soffre, consolazione a chi piange, luce e forza a tutti.
Ma specialmente permetti, o Maria, che in quest’ora solenne ti domandiamo la conversione dei peccatori, particolarmente di quelli, che sono a noi più cari. Ricordati che anch’essi sono tuoi figli, che per essi hai sofferto, pregato e pianto. Salvali, o Rifugio dei peccatori, affinché dopo di averti tutti amata, invocata e servita sulla terra, possiamo venirti a ringraziare e lodare eternamente in Cielo. Cosi sia.  Salve Regina

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La Coroncina alla Divina Misericordia

La prima domenica di Pasqua è la: Domenica in Albis. In questa domenica commemoriamo e festeggiamo Gesù Misericordioso. E‘ una festa molto importante perché tu stesso oh Signore l’hai voluta.
gesu-confido-in-teLa Tua Misericordia è il frutto della Croce.
Hai riscattato i nostri peccati con la Tua morte in croce. Ma vano è questo sacrificio se non Ti diamo la possibilità di salvarci con il nostro pentimento.
C’è più gioia in cielo per un peccatore pentito che per cento giusti.
Gesù crede in noi, spera in noi che ci ravvediamo con il nostro pentimento. Il pentimento è un gesto di amore verso noi stessi. Chi non rinuncia al peccato e non si pente si danna e si condanna da sé.
Gesù aspetta con un cuore ardente di misericordia il pentimento di noi peccatori, per incendiare di pace e di amore i nostri cuori.
Celebriamo, allora, questa festa con sentimenti di immensa umiltà, gratitudine e fiducia verso Gesù nostro Salvatore.

La Coroncina alla Divina Misericordia:
(Per la recita si usa una normale corona del rosario)

Nel Nome del Padre, del Figlio e dello Spirito Santo. Amen.
Si inizia con: il Padre Nostro, l’Ave Maria e il Credo.
Credo:
Io credo in Dio, Padre onnipotente, creatore del cielo e della terra; e in Gesù Cristo, suo unico Figlio, nostro Signore, il quale fu concepito di Spirito Santo, nacque da Maria Vergine, patì sotto Ponzio Pilato, fu crocifisso, morì e fu sepolto; discese agli inferi; il terzo giorno risuscitò da morte; salì al cielo, siede alla destra di Dio Padre onnipotente; di là verrà a giudicare i vivi e i morti. Credo nello Spirito Santo, la santa Chiesa cattolica, la comunione dei santi, la remissione dei peccati, la risurrezione della carne, la vita eterna. Amen.
Sui (5) grani maggiori del rosario si dice:
Eterno Padre, io Ti offro il Corpo e il Sangue, l’Anima e la Divinità del Tuo dilettissimo Figlio e Signore Nostro, Gesù Cristo, in espiazione dei nostri peccati e di quelli di tutto il mondo.
Sui (50) grani minori del rosario si dice:
Per la Sua dolorosa Passione, abbi misericordia di noi e del mondo intero.
Alla fine si dice per tre volte:
Santo Dio, Santo Forte, Santo Immortale, abbi pietà di noi e del mondo intero.
Alla fine si dice:
O Sangue ed Acqua che scaturisti dal Cuore di Gesù come sorgente di misericordia per noi, confido in te!
Nel Nome del Padre, del Figlio e dello Spirito Santo. Amen.

Le Promesse di Gesù Misericordioso:

Con questa coroncina otterrai qualsiasi grazia, se quello che chiedi è conforme alla Mia volontà.
La Mia Misericordia avvolgerà in vita e specialmente nell’ora della morte le anime che reciteranno questa coroncina.
I sacerdoti la raccomandino a chi vive nel peccato come una tavola di salvezza.
Se verrà recitata accanto a un moribondo, Mi metterò fra il Padre e l’anima agonizzante non come giusto Giudice, ma come Salvatore Misericordioso.

L’ORA DELLA MISERICORDIA:
Gesù ha raccomandato di recitare la coroncina nell’ora della propria morte, ossia le 3 del pomeriggio, che Lui stesso ha chiamato un’ora di grande misericordia per il mondo intero.
“In quell’ora dice Gesù non rifiuterò nulla all’anima che Mi prega per la Mia Passione”.

L’IMMAGINE DI GESU’ MISERICORDIOSO:
L’anima che venererà questa immagine non perirà, già su questa terra Prometto la vittoria sui suoi nemici e sarà difesa come Mia gloria nell’ora della morte.

LA FESTA DELLA DIVINA MISERICORDIA:
L’anima che la prima domenica dopo Pasqua si confesserà e riceverà degnamente la santa comunione, dopo aver fatto per 9 giorni a partire dal Venerdì Santo una novena usando la Coroncina alla Divina Misericordia, riceverà la grande grazia della remissione totale di tutte le pene e dei castighi.

LA DIFFUSIONE DEL CULTO DELLA DIVINA MISERICORDIA:
A tutti sono dirette due promesse, la prima riguarda la protezione materna in tutta la vita e la seconda riguarda l’ora della morte:
“Tutte le anime che adoreranno la Mia misericordia e ne diffonderanno il culto, queste anime nell’ora della morte non avranno paura, la Mia misericordia le proteggerà in quell’ultima lotta”.

La Divina Misericordia

Il Perdono youtube

 

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Robert Kennedy – Università del Kansas – 1968

Robert Kennedy venne ucciso tre mesi dopo questo discorso, e prima di essere eletto Presidente degli Stati Uniti.

“Non troveremo mai un fine per la nazione né una nostra personale soddisfazione nel mero perseguimento del benessere economico, nell’ammassare senza fine beni terreni.

Non possiamo misurare lo spirito nazionale sulla base dell’indice Dow-Jones, né i successi del paese sulla base del prodotto interno lordo (PIL).

Il PIL comprende anche l’inquinamento dell’aria e la pubblicità delle sigarette, e le ambulanze per sgombrare le nostre autostrade dalle carneficine dei fine-settimana.

Il PIL mette nel conto le serrature speciali per le nostre porte di casa, e le prigioni per coloro che cercano di forzarle. Comprende programmi televisivi che valorizzano la violenza per vendere prodotti violenti ai nostri bambini. Cresce con la produzione di napalm, missili e testate nucleari, si accresce con gli equipaggiamenti che la polizia usa per sedare le rivolte, e non fa che aumentare quando sulle loro ceneri si ricostruiscono i bassifondi popolari.

Il PIL non tiene conto della salute delle nostre famiglie, della qualità della loro educazione o della gioia dei loro momenti di svago. Non comprende la bellezza della nostra poesia, la solidità dei valori familiari, l’intelligenza del nostro dibattere. Il PIL non misura né la nostra arguzia né il nostro coraggio, né la nostra saggezza né la nostra conoscenza, né la nostra compassione né la devozione al nostro paese. Misura tutto, in breve, eccetto ciò che rende la vita veramente degna di essere vissuta.

Può dirci tutto sull’America, ma non se possiamo essere orgogliosi di essere americani”.

(Un discorso ancora valido dopo 50 anni. Il PIL è più sinonimo di Consumismo che di Progresso).

Godel: Matematica coerente ma incompleta.

Vogliamo valutare se questa frase è vera. “Questa affermazione non può essere dimostrata“.

  1.  Se ritengo che essa sia  vera, significa che essa non può essere dimostrata, cioè che non può essere verificata;
  2.  Se ritengo che essa non sia vera, significa che essa può essere dimostrata, cioè che può essere verificata;

Nel caso 1 la frase è vera ma non può essere verificata; nel caso 2) la frase non è vera ma può essere verificata. In entrambi i casi comunque essa è sia vera che falsa.

Analogamente,  “Questa frase è falsa”  :  1 Se ritengo che sia vera significa che è falsa; 2) Se ritengo che non sia vera significa che non è falsa.

Indecidibilità. Queste frasi/formule sono indecidibili, cioè non si può decidere se sono vere o false. Ossia non si può dimostrare nè che la frase-formula (φ) sia vera, né che sia non vera (¬φ).  Si noti che queste frasi sono autoreferenziali, cioè si riferiscono a se stesse. Una teoria matematica si ritiene tale se è sufficientemente espressiva, auto-referenziale e in grado di rappresentare funzioni ricorsive, ovvero se permette di definire i numeri naturali (1, 2, 3, …).

Teoria completa. Una teoria T si definisce completa se è possibile in T dimostrare o confutare formalmente qualsiasi enunciato nel linguaggio della teoria, ovvero se per ogni formula φ è possibile o dimostrare φ   o dimostrare il suo contrario ¬φ. In essa cioè non esistono formule indecidibili.                                                                         Viceversa una teoria T si definisce incompleta se esiste una formula φ  che non è possibile dimostrare o  dimostrare il suo contrario ¬φ. Cioè se al suo interno esistono formule indecidibili ( autoreferenziali).

Teoria coerente (consistente). Una teoria si definisce coerente se in essa è  impossibile dimostrare una contraddizione, (cioè non è possibile dimostrare  che una formula φ sia vera e che sia vera la sua negazione (¬φ). Viceversa una teoria è incoerente se al suo interno è possibile dimostrare una formula contraddittoria, ossia non esiste una formula φ  indecidibile. Ovvero esiste una formula φ per cui è possibile dimostrare tale formula φ e la sua negazione ¬φ.

Primo teorema di incompletezza di Gödel. Come detto sopra, in ogni teoria matematica coerente T è sempre possibile definire una formula logica φ indecidibile,  ossia è sempre possibile definire una formula che non può essere né dimostrata né confutata al suo interno. (La teoria è incompleta in quanto non riesce ha dimostrare una formula  indecidibile). 

Dal fatto che in una teoria coerente-consistente esiste almeno una formula  indecidibile, si dimostra il  Secondo teorema di incompletezza di Gödel:     Nessun sistema coerente (essendo incompleto), può dimostrare la sua stessa coerenza.

Si giunge cioè al risultato sconcertante che ogni teoria matematica coerente è incompleta  e non è autoconsistente, (non può dimostrare la propria consistenza).        In altre parole si dimostra matematicamente che essa riconosce i propri limiti.

Da wikipedia: Il primo teorema di incompletezza di Gödel dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene cioè affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

Ciò che Gödel ha mostrato è che, in molti casi importanti, come nella teoria dei numeri, nella teoria degli insiemi o nell’analisi matematica, non è mai possibile giungere a definire la lista completa degli assiomi che permetta di dimostrare tutte le verità. Ogni volta che si aggiunge un enunciato all’insieme degli assiomi, ci sarà sempre un altro enunciato non incluso.

Consideriamo ad esempio la geometria euclidea composta da 5 assiomi (a proposito si è dimostrato che sono necessari 21 e non 5 assiomi per la nostra geometria euclidea), essa è coerente ma è incompleta in quanto si possono aggiungere altri assiomi.  Se si elimina un assioma, ad esempio il postulato delle parallele,  si ottiene un’altro sistema incompleto ma coerente  (nel senso che il sistema non dimostra tutte le proposizioni vere). L’essere incompleto significa che esso non include tutti gli assiomi necessari a caratterizzare un specifico modello, ma a caratterizzare più modelli (geometria euclidea e geometrie non euclidee).