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Godel: Matematica coerente ma incompleta.

Vogliamo valutare se questa frase è vera. “Questa affermazione non può essere dimostrata“.

  1.  Se ritengo che essa sia  vera, significa che essa non può essere dimostrata, cioè che non può essere verificata;
  2.  Se ritengo che essa non sia vera, significa che essa può essere dimostrata, cioè che può essere verificata;

Nel caso 1 la frase è vera ma non può essere verificata; nel caso 2) la frase non è vera ma può essere verificata. In entrambi i casi comunque essa è sia vera che falsa.

Analogamente,  “Questa frase è falsa”  :  1 Se ritengo che sia vera significa che è falsa; 2) Se ritengo che non sia vera significa che non è falsa.

Indecidibilità. Queste frasi/formule sono indecidibili, cioè non si può decidere se sono vere o false. Ossia non si può dimostrare nè che la frase-formula (φ) sia vera, né che sia non vera (¬φ).  Si noti che queste frasi sono autoreferenziali, cioè si riferiscono a se stesse. Una teoria matematica si ritiene tale se è sufficientemente espressiva, auto-referenziale e in grado di rappresentare funzioni ricorsive, ovvero se permette di definire i numeri naturali (1, 2, 3, …).

Teoria completa. Una teoria T si definisce completa se è possibile in T dimostrare o confutare formalmente qualsiasi enunciato nel linguaggio della teoria, ovvero se per ogni formula φ è possibile o dimostrare φ   o dimostrare il suo contrario ¬φ. In essa cioè non esistono formule indecidibili.                                                                         Viceversa una teoria T si definisce incompleta se esiste una formula φ  che non è possibile dimostrare o  dimostrare il suo contrario ¬φ. Cioè se al suo interno esistono formule indecidibili ( autoreferenziali).

Teoria coerente (consistente). Una teoria si definisce coerente se in essa è  impossibile dimostrare una contraddizione, (cioè non è possibile dimostrare  che una formula φ sia vera e che sia vera la sua negazione (¬φ). Viceversa una teoria è incoerente se al suo interno è possibile dimostrare una formula contraddittoria, ossia non esiste una formula φ  indecidibile. Ovvero esiste una formula φ per cui è possibile dimostrare tale formula φ e la sua negazione ¬φ.

Primo teorema di incompletezza di Gödel. Come detto sopra, in ogni teoria matematica coerente T è sempre possibile definire una formula logica φ indecidibile,  ossia è sempre possibile definire una formula che non può essere né dimostrata né confutata al suo interno. (La teoria è incompleta in quanto non riesce ha dimostrare una formula  indecidibile). 

Dal fatto che in una teoria coerente-consistente esiste almeno una formula  indecidibile, si dimostra il  Secondo teorema di incompletezza di Gödel:     Nessun sistema coerente (essendo incompleto), può dimostrare la sua stessa coerenza.

Si giunge cioè al risultato sconcertante che ogni teoria matematica coerente è incompleta  e non è autoconsistente, (non può dimostrare la propria consistenza).        In altre parole si dimostra matematicamente che essa riconosce i propri limiti.

Da wikipedia: Il primo teorema di incompletezza di Gödel dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene cioè affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

Ciò che Gödel ha mostrato è che, in molti casi importanti, come nella teoria dei numeri, nella teoria degli insiemi o nell’analisi matematica, non è mai possibile giungere a definire la lista completa degli assiomi che permetta di dimostrare tutte le verità. Ogni volta che si aggiunge un enunciato all’insieme degli assiomi, ci sarà sempre un altro enunciato non incluso.

Consideriamo ad esempio la geometria euclidea composta da 5 assiomi (a proposito si è dimostrato che sono necessari 21 e non 5 assiomi per la nostra geometria euclidea), essa è coerente ma è incompleta in quanto si possono aggiungere altri assiomi.  Se si elimina un assioma, ad esempio il postulato delle parallele,  si ottiene un’altro sistema incompleto ma coerente  (nel senso che il sistema non dimostra tutte le proposizioni vere). L’essere incompleto significa che esso non include tutti gli assiomi necessari a caratterizzare un specifico modello, ma a caratterizzare più modelli (geometria euclidea e geometrie non euclidee).

 

La trasformata di Legendre

Considerati i punti di una funzione f(x) la trasformata di Legendre g(p) può essere rappresentata come i valori cambiati di segno delle intercette sull’asse y  delle  rette tangenti (inviluppo) alla funzione (curva) f(x) con pendenze p= f’(x)

                         g(p)= max( p*x –f(x))    (1)


legendre(1)In figura la tangente alla f(x)= x2+1 nel punto (0,7; 1,49)  ha pendenza p= f’(0,7) = 2*x = 1,4 e intercetta l’asse y nel punto g(p) = f(xi) – p*xi = 1,49- 1,4*0,7 =0,51.  Sono riportate, in fuxia, altre tangenti  alla f(x)  che intercettano l’asse y in altri punti g(p) e in blu d(g(p))tratteggiata la curva g(p)  . 

La trasformata di Legendre può essere, altresì, definita: Dato un punto f(xs) della curva e considerato il fascio di rette parallele    y(k)= p*x +k    di pendenza    p= f’ (xs), quella che è tangente alla curva deve avere k = f(xs)-p*xs , cioè deve intersecare l’asse y in -g(p). In figura il fascio di rette è:  y(k) = p*x – k  La retta tangente si ha per k = f(xs)-p*xs= 1,25 – 1*0,5 = 0,75 = g(p). 

La trasformata di Legendre è una involuzione cioè se applicata due volte dà il valore originario (ad esempio se si inverte due volte un numero razionale si ottiene il numero di partenza).

Si osserva che se si deriva rispetto alla variabile p la (1):        g(p)= x*p -f(x)     si ricava    x  =  d(g(p))/d(p)   (2)    ricordando che p = f’  si  può scrivere   x  =  d(g(p))/d(f’)   (2a).  Si fa osservare dalla (2a) che, con la trasformata g(p) della funzione f(x), nella derivata  f’ = df(x)/dx,  si inverte la x con la f’ (= p) .         

Vediamo di ricavare la g(p) mediante la (1).

Consideriamo f(x) descritta con il monomio:    f(x) =α*xn  ,  calcoliamo           p = f’(x)  →     p = α*n*xn-1   il differenziale  è: dp = α*(n-1)*n*xn-2*dx    →  x*dp = α*(n-1)*n*xn-1*dx     per la (1)     dg(p) =  x(p)*dp      →     dg(p)  =   α*(n-1)*n*xn-1*dx  =    d(α*(n-1)* xn)     quindi       g(p) = α*(n-1)*xn-1*x  =  α*n*xn-1*x – α*xn  =  p*x –f.                                        La funzione che verifica la (1) è  quindi:  g(p) = p*x-f(x).

Esempio: Consideriamo la funzione in figura f(x)= x2 +1    da cui       g(p) = p*x- x2 -1    il minimo si ha per      g’(p)= p – 2*x = 0     ossia   per     x(p) = p/2        f(p)= p2/4+1.     Se x=0,5 ,    p(0,5) = 1 ,   g(0,5) = 1*0,5- 0,52 -1 = – 0,75.

In analisi funzionale, si ricorda che la Lagrangiana esprime l’energia totale del sistema  L(qi,t) =T – V  (con T E.cinetica e V E.potenziale) mediante le coordinate q(xi,t),  l’hamiltoniana H invece esprime l’energia totale del sistema con le derivate q’ delle coordinate lagrangiane, ossia H(qi‘,t). Cioè l’hamiltoniana  H  costituisce la trasformata di Legendre della lagrangiana  L del sistema:   p = dL/dq’     se si inverte p con q’  si ha:    q = dH/dp’  con la trasformata H = p*q’ – L.

Legge oraria e … polinomio di Taylor

Polinomi. Se di una funzione y = f(x)  conosciamo n punti (x1, y1);  (x2, y2); …( xn, yn), la funzione più semplice che approssima la f(x) è il polinomio di grado n-1:         Pn-1(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1xn-1   che passa per tali punti. Ad esempio, se si conoscono 2 punti si può scrivere il polinomio di grado 2-1 (equazione della retta) ed imporre la condizione che passi per tali  punti, cioè  il sistema di 2 equazioni con 2 incognite:

  • a0 + a1 x1 = y1
  • a0 + a1 x2 = y2

 Trovati i valori delle incognite a0, a1, si può scrivere l’equazione della retta ossia il polinomio di 1° grado P1(x) :  y = a0 + a1x    (1) .

Se si conoscono n+1 punti possiamo scrivere un sistema di n+1 equazioni con n+1 incognite, calcolare le: a0, a1, … an e quindi :        Pn(x) = a0 + a1x + … +anx      (2)          Più punti della funzione  y = f(x) si conoscono migliore è l’approssimazione del polinomio alla suddetta funzione.

Rappresentiamo,  adesso, in figura gli addendi del polinomio P2(x) = a0 + a1x + a2x2  (si limita lo studio al polinomio di 2° per brevità di esposizione). I coefficienti ai  hanno un  significato fisico? Consideriamo l’Area del Polinomio (ossia l’area sottesa dal Polinomio tra 0 e x),  il 1° addendo delimita un rettangolo di area A1= x*a0; il 2° addendo un triangolo di area :     A2= x* a1*x/2, il 3° addendo una parabola di area A3= x*a2*x2/3.   L’area  totale è:    A(x) = (a0+a1*x/2+a2*x2/3)*x.

Legge oraria. Se diamo alla funzione polinomiale il significato fisico della funzione accelerazione a(t) = P(t) si vuole  calcolare lo spazio percorso da un punto nel tempo t.  In figura (a) è rappresentata la funzione accelerazione    a(t)= ao+a1*t.    Posto t = t1 – t0 , l’area sottesa da  a(t) con l’asse t  dà  la velocità   v(t) = v2 +v3 = ao *t+ a1*t2/2     (3)   Polinom1

In figura (b) è rappresentata la funzione velocità v(t). L’area sottesa rappresenta lo spazio  s(t) = so+vo*t+ao/2!*t2+ a1/3!*t3     (4)   avendo indicato con so  il valore iniziale. Si evidenzia che: vo rappresenta la velocità v all’istante t= 0  vo= ds/dt= s’o;    ao    l’accelerazione all’istante t= 0 ao = d2s/dt2= s”o  …,  per cui la (4) può  essere riscritta con le derivate in un punto t, ossia come polinomio di Taylor :                                       s(t) = so+s’o*t1+s”o/2!*t+ s”’o/3!*t3   (4a)

Polinomio/Serie di Taylor. Tale serie, costituita appunto dai valori delle derivate della funzione f(x)  in un punto (continua e derivabile in un punto x), approssimano la funzione f(x):

       y(x) = y+y’ *(x – x0)+y’’/2!*(x – x0)2+ y’’’/3! *(x – x0)3 + …+ yn‘/n!*(x – x0)n    (4b)

Polinomio/Serie di McLaurin. Se scegliamo  x0=0  il suddetto polinomio diventa  di McLaurin:     y(x) =   y(0)+y’(x)*x+y’’(x)/2!*x2+ y’’’(x)/ 3!*x3+ …+ yn’(x)/ n!*xn    (4c)     

Esempio: Data la funzione y(x) = 2*x 2 + x  si vuole calcolare la Serie 
di Taylor  per x0=1.  
Si ha:  y(1) = 3,  y’(1) = 4*x +1 = 5, y"(1) = 4.
y (x) = y + y’*Δx+y"*Δx2/2 = 3+5*Δx+4*Δx2/2 = 3+5*Δx+2*Δx2 
Per x=2, Δx =x-x0= 1   P2(x=2) =  3+5*1+2*12 = 10.
Per x=3, Δx =x-x0= 2   P2(x=3) =  3+5*2+2*22 = 21.
 La Serie di McLaurin:  x0=0 ,  y(0) = 0,  y’(0) = 1,   y"(0) = 4  
 quindi y(x) = y(0)+y’(0)*x+y"(0)/2!*x2 = 0+1*x+4/2*x2  = 2*x2 + x.          

Altro metodo per trovare gli ai. Consideriamo il polinomio  Pn(x) = a0 + a1x + … +anxn    come la somma di n funzioni   yi(x) = aixi  con. Calcoliamo il coefficiente ai derivando la y(x) i volte: i’ = i!*ai      da cui si ricavano i coefficienti  ai = i’ /i!   della serie.

Nota: Se si eguagliano i termini della (2) e della (4b) si trovano i valori dei coefficienti aia0 =y, a1 =y’/1!, a2=y”/2!, … an=yn’/n!. Si osserva infatti che la derivata di ai*xi é: i*ai*xi-1 e che la derivata i-esima di ai*xi é : yi’ = i!*ai.

Analisi Dimensionale e Formule Fisiche

L’Analisi Dimensionale è un facile e potente strumento utilizzato nei fenomeni fisici per studiare le relazioni tra le varie grandezze dimensionali e ricavare nuove formule.  Se abbiamo ad esempio una corda e conosciamo la sua lunghezza, densità,  …  da tali dati con l’analisi dimensionale  è possibile trovare la  formula ad esempio della frequenza di oscillazione o la velocità di propagazione della tensione. Le formule relazioni sono  ricavate a meno di costanti adimensionali e devono essere  verificate con  esperimenti, anche al fine di determinare la  suddetta costante adimensionale.

                    Vedi.   https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_dimensionale

Considerato che le formule dimensionali si creano moltiplicando e/o dividendo le grandezze fisiche fondamentali è utile ricordare alcune regole sulle potenze:

  1. nel prodotto di grandezze uguali gli esponenti si sommano m1*m2 = m3;
  2. se si inverte una grandezza m1 il suo esponente cambia di segno 1/m = m-1;
  3. una grandezza con esponente 0 è uguale all’unità: m0 = 1;
  4. la potenza di una potenza è uguale al loro prodotto [s2]1/2  = s1.

Riportiamo alcuni esempi in cui si ricavano delle formule fisiche note. E’ possibile  comunque ricavare formule anche di fenomeni fisici non conosciuti sempre da verificare con esperimenti.

Esempio 1: Un pendolo di lunghezza l [m] e massa M [M], è soggetto ad accelerazione di gravità   g [m*s-2],   qual’è il tempo di oscillazione del pendolo?    pendolo     Per trovare il tempo [s] gli ingredienti da scegliere sono l’accelerazione g in cui il tempo è presente con potenza -2, e la lunghezza l [m] per annullare la lunghezza contenuta nell’ accelerazione.  Si scrive:          l/g [s2*m-1] [m] = [s2]   da cui la radice  t = ( l/g )1/2  [s]    (1)

A meno di un coefficiente adimensionale risulta che il tempo non dipende dalla massa ma dall’accelerazione di gravità e dalla lunghezza del pendolo.

Dividendo 1° e 2° membro della (1) per il tempo si ottiene la grandezza adimensionale    (l/gt2)1/2 = 1  che assicura la correttezza dimensionale della  formula.


Esempio 2: Una corda avente lunghezza l [m] e massa per unità di lunghezza ρ [M/m] è soggetta ad una forza F [M*m/s2]Quale la velocità di propagazione v [m/s] della tensione lungo la corda?    fune
Le grandezze  da considerare sono quelle che contengono m ed s , quindi consideriamo l’inverso 1/ρ [m/M] e la forza  F [M*m/s2
F/ρ [M*m/s2][m/M] = [m2/s2(2)               →       v = (F/ρ)1/2   [m/s]         Si trova che la velocità di propagazione v della forza lungo la corda dipende dalla tensione e dalla massa per unità di lunghezza. Essa  aumenta con la tensione della corda e diminuisce con la densità della corda.

Qual’è la frequenza f  di oscillazione della corda? Se dividiamo la velocità v [m/s] per la lunghezza della corda l [m] ricaviamo la frequenza f (F/ρl2)1/2  [1/s] . Si trova che la frequenza di oscillazione aumenta con la tensione/forza F, mentre diminuisce con lo  spessore e, soprattutto, con la lunghezza (si pensi a come varia la frequenza della corda di una chitarra).


Esempio 3: Ad una molla di costante elastica k [M/s2] è appesa una massa M [M] su mollacui agisce una accelerazione g [m/s2].                 Qual’è la lunghezza [m] di elongazione della molla?    Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita l [m] e le grandezze note k, M, g elevate alle potenze incognite  a, b, c, d:   ka*Mb*gc*l=1      [M/s2]a[M]b[m/s2]c[m]d =1 →  Ma/s2aMbmc/s2cm=1 
Per essere verificata l’equazione le somme degli esponenti di ogni grandezza fondamentale (M, s, m) devono essere zero:         Mas-2aMbmcs-2cm=1       →                        Ma+bs-2a-2cmc+d =1            quindi:                       a+b=0;                -2a-2c=0;              1c+1d=0          →                 b = -a;               c= -a;              d= -c = a            posto      a= 1    →      b= -1,     c= -1,     d= 1       →            k1*M-1*g-1*l=1      →      cioè    l = M*g/k               Si trova che l’elongazione L della molla è proporzionale alla forza di gravità M*g e inversamente proporzionale alla costante elastica k.   

Qual’è il tempo di oscillazione T [s]?  Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita T [s] :      ka*Mb*gc*T= 1     cioè    [M/s2]a[M]b[m/s2]c[s]d = 1             Troviamo i valori degli esponenti a, b, c, d   la cui somma, per ogni grandezza, sia 0

  • per M: a+b=0;            per m: c =0                 per s:    -2a+d=0;
  • da cui       b = -a;              c =0           d= 2a.                Posto      a= 1    →        b= -1        c= 0      d= 2      k1*M-1*g0*T= 1     →   T = (k/M) 1/2                        Si ricava che il tempo T di oscillazione dipende da k e da M ma, a differenza  del pendolo,   non dalla gravità g.

 Teorema di Buckingham Se in un fenomeno fisico intervengono “n” grandezze ed “m” è il numero delle grandezze fondamentali, il legame tra le “n” grandezze è riconducibile ad un legame tra “n-m” numeri puri.

Nell’esempio della molla sono presenti n = 5 grandezze fisiche:  k, M, g, l, s  ed m =3 grandezze fondamentali: M, m, s. Per il teorema suddetto si possono ricavare  n – m = 5-3 = 2 grandezze adimensionali:

    Mg/kl  = 1        e         k/MT2 = 1    e con esse una funzione F(Mg/(kl) , k/(MT2)) = 0  Cioè è possibile rappresentare il sistema in esame con una funzione F composta da due gruppi adimensionali, ossia descrivere il fenomeno con un unico grafico: una grandezza adimensionale in ascissa e una grandezza adimensionale in ordinata.         Si può ancora scrivere Mg = (kl)*f(k/MT2) con una funzione f  sconosciuta da studiare.


In alcuni casi, per affinare l’analisi dimensionale, è meglio considerare come grandezze diverse le direzioni dei vettori così da avere a disposizione maggiori grandezze.proiettile
Esempio 4: Proiettile di massa M lanciato nel piano xy a velocità V di  componenti  Vx =Lx/T e Vy= Ly/T  e soggetto ad accelerazione di gravità g [Ly/T2] lungo y.
Con l’analisi dimensionale ricaviamo   Ly = Vy2/g   [m/s]2[m/s2]   Si rileva che l’altezza dipende solo dalla componente Vy,    inoltre nella relazione  Ly*g = Vy2 (posto g costante) si intravede la relazione che lega la quota con la velocità al quadrato ossia il legame tra energia cinetica ed energia potenziale.
Se si esprimono i tempi lungo i due assi  T = Lx /Vx [m]/[m/s] : T = Vy/g [m/s][m/s2]  e si uguagliano si ha:   Lx /Vx = Vy/g  da cui la gittata R = Lx = VxVy/g      Si rileva che la gittata è  max  se Vx =Vy cioè se la velocità è inclinata di θ = 45°.


L’analisi dimensionale si può applicare alle equazioni differenziali o integrali ricordando che:  y’ = dx/dt  [m/s]   ,   y” = d2x/dt2  [m/s2]    …     d(dT/dx’)dt  = d(dT/dx/dt)dt  =  dT/dx   Se   T = [M]:    M’ = dM/dt [M/s]   ,    M” = d2M/dt2  [M/s2]   ,    dM/dx’ = [Ms/m]  d(dM/dx’)dt= dM/dx  [M/m] .   Per gli integrali    ∫ Mdt  [Mt]       ∫ ∫ Mdt  [Mt2]   …

Grandezza fisica
Simbolo dimensionale
Grandezza fisica
 
Simbolo dimensionale
lunghezza
L  m
area
A
m2
massa
M
volume
V
m3
tempo
T  s
velocità
v
m · s−1
corrente elettrica
I
velocità angolare
ω
s−1
rad · s−1
temperatura
Θ
accelerazione
a
m · s−2
quantità di sostanza
N
momento meccanico
N · m = m2 · kg · s−2
intensità luminosa
J
numero d’onda
n
m−1
densità
ρ
kg/m³
frequenza
f, ν
hertz
Hz
s−1
forza
F
newton
N
 kg m · s−2
pressione, sollecitaz
p
pascal
Pa
= kg · m−1 · s−2
energia, lavoro, calore
E, Q
joule
J
= kg · m2 · s−2
potenza, flusso radia
P, W
watt
W
= kg · m2 · s−3

Analisi dimensionale ed equazioni differenziali  Operatori Differenziali

Testo_Longo_Analisi_Dimensionale_e_Modellistica_Fisica.pdf

https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-88-470-1646-0%2F1.pdf

Serie di Fourier …

https://users.dimi.uniud.it/~paolo.baiti/corsi/AA2014-15/EquaDiff/dispense-EqDif-14alpha.pdf

La luce come Sistema di Riferimento Assoluto.

Il Sistema di Riferimento Luce e l’effetto Sagnac.

 

PREMESSA: Sebbene l’effetto Sagnac sia noto da oltre 100 anni e sia utilizzato in diverse applicazioni esso  viene considerato un fenomeno fisico scomodo e mal digerito dalla comunità scientifica, in quanto si pone in contrasto con  la Teoria della Relatività Ristretta. Esso, a differenza della RR che considera tutti i sistemi relativi, dimostra  che esiste un sistema di riferimento assoluto. 

Ci si pone la domanda: può un osservatore all’interno del proprio sistema verificare il suo movimento?  La domanda non è completa in quanto non specifica rispetto a cosa il sistema è in moto. Sappiano che la velocità della luce (come ha scoperto Maxwell) dipende dalle proprietà del mezzo  in cui essa si propaga. Se lo spazio è isotropo (uguale in ogni direzioni) anche la luce ha la stessa velocità in ogni direzione.  La luce cioè non viene “trascinata” dal moto della sorgente o dall’etere. Premesso ciò, consideriamo   una  sorgente che, nell’istante to= 0  e in un punto O dello spazio, emette un lampo di luce. Indipendentemente dal moto della sorgente dal centro O si propaghera’ una sfera di luce  di  velocità c, che nell’istante t  avrà raggio d= t*c.  Quanto sopra si verifica ogni volta che una qualsiasi sorgente luminosa emette delle radiazioni. Si ritiene allora possibile considerare questo sistema di riferimento come “assoluto”,  in quanto solo in tale sistema i raggi viaggiano (senza contrazione spaziale e dilatazione temporale) con la stessa velocità in ogni direzione. Si ripropone allora la domanda in questi termini: supposto che esista un sistema di riferimento”privilegiato”, può un osservatore all’interno del proprio sistema verificare il suo movimento rispetto a tale sistema privilegiato?  Se un osservatore S0 con la sua sfera è solidale a tale sistema dovrebbe vedere i raggi arrivare alle pareti della sfera nello stesso istante. Se l’osservatore S’ è in  moto rispetto a tale sistema dovrebbe, invece, rilevare che su una parete il raggio arriva prima dell’altro raggio sull’altra parete.

Negli articoli Relatività Ristretta e Diagramma… di Minkowski osserviamo che i 2 raggi che vanno verso le pareti, qualunque sia la velocità v del sistema, partono e ritornano al centro della sfera nello stesso istante, mentre toccano le pareti in istanti diversi, dipendenti dal moto del sistema. Considerato che la velocità  della luce è costante possiamo prendere come termine di misura  proprio i due istanti di tempo è scegliere come privilegiato quel sistema che ha tali tempi simultanei.  La relatività ristretta, che si basa in definitiva sulla relatività della simultaneità di 2 eventi  in quanto dipendente dal moto del sistema, ritiene che non esista un sistema di riferimento privilegiato in quanto i raggi di luce, compiendo un percorso di andata e ritorno, arrivano sempre insieme. Secondo  Selleri e Serafini  solo considerando la velocità della luce “di solo andata”  possiamo discriminare il sistema privilegiato. Se consideriamo la velocità della luce “di andata e ritorno” infatti troviamo che la velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento inerziali (come affermato nel principio di relatività di Einstein). Selleri afferma quindi che esiste una solo sistema di riferimento inerziale in cui la luce si propaga in maniera isotropa,  ossia che la velocità della luce rimane sempre la stessa esclusivamente in questo sistema inerziale “privilegiato” e l’esperimento Sagnac ne è la prova. 

 L’esperimento di Sagnac considera due raggi che si propagano in opposte direzioni in un percorso di solo andata. L’effetto Sagnac  è il fenomeno di diffrazione creato da due raggi di luce che in un discoin rotazione effettuano percorsi circolari in direzioni opposte. Se il disco è  fermo (non in rotazione) i due raggi arrivano nello stesso istante nel punto di partenza del disco e non si ha diffrazione. Se è  in rotazione, poiché il punto di partenza ruota un raggio arriva prima dell’altro in tale punto per cui  si crea una diffrazione. Esso è la prova sperimentale che esiste un sistema di riferimento privilegiato in cui la luce si propaga in maniera isotropa (nessuna diffrazione). L’ effetto  Sagnac è utilizzato in varie strumentazioni come il laser giroscopio anulare per la navigazione e nel GPS in cui bisogna tener conto dell’effetto Sagnac proprio perché la tecnica di trasmissione del segnale è “di solo andata”. Selleri e Serafini parlano di una rilettura e modifica del principio di Einstein in questi termini: “la velocità di andata e ritorno della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali”. Essi affermano che sarebbe questa l’unica, soddisfacente e significativa formulazione del principio di costanza della velocità della luce, e che l’effetto Sagnac ne costituisca la prova sperimentale.

Il giroscopio laser anulare sfrutta l’effetto Sagnac per la determinazione della velocità angolare. Il fascio laser entra nell’anello nel punto A e viene diffuso sia nella direzione oraria che in quella antioraria. Se l’anello (interferometro) è fermo, i due fasci di luce si incontreranno nel punto A, dopo un tempo uguale dato da t = 2pr/c  dove r è il raggio del percorso circolare e c la velocità della luce. Al contrario se il sistema fisico è in rotazione, ad esempio nel verso orario, con velocità angolare W intorno ad un asse passante per il centro C e perpendicolare al piano dell’interferometro, i due fasci impiegheranno tempi diversi per ritornare in A, dal momento che il punto A ruota per cui fascio orario deve percorrere un po’ più di 2pr/c  e quello antiorario un po’ meno. Tale differenza di tempo crea con detti raggi una  figura di interferenza  da cui si può ricavare la velocità angolare del giroscopio (e della navicella con cui esso è solidale) rispetto al Sistema Luce..  Analogamente un interferometro lineare posto in  sistema in moto può sfruttare l’effetto Sagnac (utilizzando due fasci laser inviati in direzioni opposte) per la determinare la velocità lineare del Sistema rispetto al Sistema Luce.

ESPERIMENTO 1: Sappiamo che a causa del moto della Terra rispetto alla luce delle stelle  si verifica il fenomeno dell’aberrazione luminosa. Su youtube sono stati considerati dei fotoni con direzione verticale (provenienti dalle stelle) . I fotoni che possono essere osservati da un cannocchiale in moto con velocità v (ossia i fotoni che arrivano sul fondo del cannocchiale), hanno un angolo di aberrazione/inclinazione i= v/c. Mentre se il cannocchiale fosse fermo (v=0) i fotoni osservabili sarebbero i fotoni verticale e l’aberrazione sarebbe nulla. Se conosciamo la direzione dei fotoni e l’angolo di aberrazione, possiamo calcolare la velocità del nostro sistema in moto.    Nel filmato  viene emesso un fotone lungo una direzione. Tale fotone riesce ad attraversare un tubo/condotto, solidale con il nostro sistema in moto con velocità v, se la direzione del fotone ha una inclinazione i= v/c rispetto alla direzione del tubo. Il valore dell’aberrazione/inclinazione dà la componente, ortogonale alla direzione del tubo,  della velocità v  del sistema rispetto alla luce. Analogamente possiamo calcolare le altre 2 componenti ortogonali e ricavare la velocità del nostro sistema nello spazio. L’aberrazione della luce, a mio parere, contraddice il 2° principio della relatività secondo cui la velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento (cioè una persona sia da ferma sia che in movimento percepisce la stessa velocità della luce). L’aberrazione luminosa infatti fa percepire la luce in una direzione diversa dalla direzione effettiva a causa del movimento v dell’osservatore.  La direzione risultante r = c-v (differenza vettoriale della velocità luce c e della velocità  dell’osservatore v), costituisce la velocità vettoriale della luce percepita dall’osservatore.

ESPERIMENTO 2: Consideriamo un sistema di riferimento inerziale, si vuole mettere in relazione tale sistema con  il “particolare” Sistema Luce. Sfera Sistema RiferimentoSupponiamo che il nostro sistema sia costituito da una sfera in moto con una ipotetica e sconosciuta velocità v    (che vogliamo determinare) rispetto   al “Sistema Luce“.      Se dal centro B della sfera si emettono dei raggi di luce in direzioni opposte, lungo la direzione del moto;  rispetto al “Sistema Luce” la parete A si avvicina al centro mentre la C se ne allontana.    Problema cruciale è  la sincronizzazione dei 2 orologi.  Per calcolare i tempi  ta e tc è necessario sincronizzare 2 orologi.  Possiamo sincronizzare i 2 orologi al centro della sfera, quindi trasportarli lentamente e con uguale velocità alle 2 pareti, così da avere dei rallentamenti trascurabili  e comunque uguali nei due orologi. Si dovrebbero quindi calcolare i tempi:

  • per il raggio da B ad A: c*ta+v*ta = L      →    ta = L /(c+v)       (5a)
  • per il raggio da B a C: c*tc – v*tc = L       →    tc = L /(c-v)       (5b)

Poichè  tc – ta = Δt    sottraendo membro a membro si ha :  Δt =  L*(1/(c-v) -1/(c+v)) = 2*v* L/(c²-v²)  ≈ 2*v*L/c²   da cui   v = Δt *c² /2L   (6) .  In dette relazioni nella 1a iterazione si considera nulla la  contrazione della lunghezza. Nella 2a iterazione si tiene conto della v di 1a approssimazione,  quindi  affinare il calcolo con un processo iterativo. Non è superfluo rilevare che tale velocità viene calcolata non considerando altri sistemi esterni: le misure di tempo e di spazio  sono state effettuate con orologi  e con l’asta  solidali  del sistema. Supponendo che la Terra (ruotando attorno al sole, che a sua volta ruota attorno al centro della galassia …) abbia una velocità v = 3.*000 m/secondo, posto L = 1.000 mt. per la (6)  si dovrebbe misurare una differenza di tempo Δt = 2*3.000* 1.000/(9×10^18)  = 6/9* 10^-12 secondi. Mentre se si misura, ad esempio, un  Δt  = 10^-10  dalla  (6) si trova una velocità  v  =  Δt*c² / 2*L =  10^-12* 9*10^18/2.000 = 4.500 m/s. Gli orologi atomici al cesio che hanno una precisione dell’ordine di 10^-16 sarebbero in grado di rilevare tale differenza di tempo e misura pertanto la velocità del sistema rispetto al Sistema Luce, unico sistema di riferimento privilegiato in cui la luce si propaga in maniera isotropa.

Un’altro metodo  di calcolo è quello di considerare le diverse velocità di avvicinamento tra  raggi e parete anteriore e posteriore:

  • velocità  raggio-paretepost: v1 = (c+v)/(1+v*c/c2)    →    v1 = (c+v)/(1+v/c)   =  c*(c+v)/(c+v) → v1 = c;
  •  velocità raggio-pareteant: v2 = (c-v)/(1+v*c/c2) → v2 = (c-v)/(1+v/c) →   v2 = c*(c-v)/(c+v).

Indicato con r il raggio della sfera, si hanno i tempi:  t1 = r/v1 = r/c   e  t2 =  r/v2 =  r/c*(c+v)/(c-v)   posto  t1/t2 = Δ   si ha:  Δ = (c-v)/(c+v)      (1)       da cui si ricava                      v = c*(1-Δ)/(1+Δ)     (2)   Misurati i tempi t1 e t2,  si ricava Δ, e con la (2) la velocità v che il sistema sfera avrebbe rispetto al Sistema di Riferimento Luce.

L’esistenza di un sistema di riferimento assoluto quale è il Sistema Luce implica l’esistenza di un tempo assoluto, di uno spazio assoluto e di una velocità assoluta. Tutti i sistemi inerziali possono riferirsi infatti a tale sistema di riferimento privilegiato. Noto tale sistema di riferimento può essere calcolata la “reale” energia cinetica dei corpi

Si veda:

Teorie alternative alla Relatività e alla  natura  del tempo. 

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.sisfa.org/wp-content/uploads/2013/03/16-34Selleribari.pdf&ved=2ahUKEwjsxZP2gZrkAhXKwKQKHU1xDJAQFjAHegQIARAB&usg=AOvVaw0lnRK426BMZjZbG_oUUhuW

http://cdlfbari.cloud.ba.infn.it/wp-content/uploads/file-manager/CIF/Triennale/Tesi%20di%20laurea/13-14-FRANCHINI%20Giovanni.pdf

http://www.giuseppevatinno.it/wordpress/?p=1669.

http://www.brera.unimi.it/sisfa/atti/1996/selleri.htm.

Relatività Generale (ascensore in caduta libera)

Consideriamo un ascensore in caduta libera (sistema non inerziale) . L’osservatore all’interno  non rileva alcuna forza, tuttavia,  il suo spazio-tempo si deforma.

  Deformazione del tempo. Consideriamo un sistema di riferimento non inerziale, ad esempio un missile  con accelerazione costante. In un diagramma Spazio – Tempo, esso descrive una parabola.
Missile R.G.  La velocità (pendenza della parabola) aumenta con il tempo. Rappresentiamo in tale diagramma con due parabole le posizioni, nel tempo, della parete anteriore e posteriore del missile. Su tali pareti poniamo due orologi, che emettono raggi di luce a intervalli regolari, rappresentati in figura da frecce arancioni e blu, di uguale lunghezza÷tempo e di uguale pendenza÷velocità (delle luce).  Si nota che: per l’osservatore posto nella parte posteriore del missile l’orologio posto avanti accelera. Infatti la luce di tale orologio  arriva sempre più in anticipo : nella figura si nota che man mano  le frecce arancione  arrivano sulla parabola (parete superiore) sempre più in anticipo; mentre per l’osservatore posto nella parte anteriore l’ orologio posto dietro decelera. Infatti la luce arriva sempre più in ritardo:  nella figura le frecce blu ritardano sempre di più per raggiungere la parete anteriore
ascensore R.G.

Deformazione dello spazio.  Un raggio di luce s entra da un lato dell’ascensore in caduta libera percorrendo una traiettoria rettilinea ( linea  rossa ). Per  l’osservatore posto all’interno, a causa della sua caduta assieme all’ascensore,  la traiettoria del raggio di luce non é una retta ma una curva ( linea gialla ). Lo spazio cioè si deforma .

In tale esperimento si ipotizza valida la relazione: m. inerziale = m. gravitazionale    mi = mg (1)        La massa inerziale e’ presente nell’energia cinetica mentre la massa gravitazionale nell’energia potenziale. Se in un campo gravitazionale (dovuto a masse) sostituiamo all’energia potenziale l’energia cinetica:

1/2 mi v2 = GM*mg/r     per la (1)  si ricava   v2 = 2GM/r          (2)

La (2) indica la velocità che deve avere una particella, in un punto distante r da un corpo di massa M, affinché la sua energia cinetica sia  eguale all’energia potenziale gravitazionale G*M/r in quel punto. Se sostituiamo la velocità v2 = 2GM/r nelle equazioni della Relatività Ristretta, si ricavano i valori del tempo e dello spazio deformati a causa della velocità v  (posto c =1):

    t’ = t /(1-v2) 1/2 = t /(1-2GM/r) 1/2    (3a)          L’ = L*(1-2GM/r) 1/2     (3b)                   Vedi par. 3.2.:  Relatività Generale (INFN) 

Ossia nella relatività generale l’effetto del campo gravitazionale  in un punto può essere sostituito da una deformazione dello spazio-tempo prodotto dalla massa M. Il fenomeno da dinamico diventa cinematico. Il corpo viene attratto verso uno spazio L’ più contratto? ed un tempo T’ più lento.                                                                                Si può osservare che, tenuto conto della deformazione  spazio-tempo, la velocità della luce (in caduta libera)  rimane costante. Cioè è la contrazione dello spazio e la dilatazione del tempo a creare la sensazione dell’accelerazione mentre, in effetti, la velocità della luce rimane costante.

Come la luce rallenta e devia quando attraversa strati più densi di atmosfera, per effetto della Rifrazione terrestrerifrazione, similmente, rallenta e devia quando passa vicino ad un corpo di grande massa. Il campo gravitazionale modifica quindi  la densità dello spazio-tempo (l’indice di  rifrazione del vuoto) .

Relatività R. – Energia o massa relativistica?

PREMESSA:  Considerato che la massa (energia) relativistica viene definita come il prodotto della massa  a riposo mo per il fattore di Lorentz γ:  m = mo*ϒ    (con γ = 1/(1-v²/c²)½) e che per la Teoria della Relatività Ristretta (R.R.) un corpo in moto è soggetto ad una contrazione lungo la direzione del moto, secondo la legge di Lorentz :   L’ = L*(1-v²/c²)½;  si può ipotizzare che l‘incremento di energia relativistica sia il lavoro di compressione necessario a creare la contrazione relativistica di Lorentz? 

 Consideriamo un recipiente di forma cubica  di lati L=1 fermo con all’interno del gas. Se indichiamo con m*vi la quantità di moto di una generica particella i, lungo l’asse X, la forza F che la particella esercita sulla parete ortogonale all’asse X è data dalla variazione della quantità di moto dP = 2*m*vi (si ipotizza l’urto elastico) fra due urti consecutivi nell’unità di tempo dt ossia: F = dP/dt.  Indicato con Δt = 2*L/vi il tempo fra due urti consecutivi sulla parete, la forza è:

Fx = dP/Δt  = 2m*vi/(2L/vi) = m*vi²/L  (1)

Supponiamo adesso  che il recipiente si metta in moto lungo  x  con velocità relativistica v, per la R.R. lo spazio lungo x subisce la contrazione (posto c=1)     K = (1-v²)^½  ⇒  L’x = L*k.

  La (1) diventa: F‘x = m*vi²/(L*k) = Fx/k  (1a)        

Se si moltiplica la (1a) per L si ricava la variazione dell’energia in funzione della velocità v, ossia della contrazione k : E’ =  F’x*L=  m*vi²/k = E/k  (1b)

Dalla (1b) si può ipotizzare che l’aumento  dell’energia relativistica E sia dovuto al lavoro necessario per  produrre la contrazioni del corpo e che la massa m rimane costante.  

 Si può supporre che l’energia E sia necessaria a comprimere lo spazio- tempo (il vuoto tra le particelle), e che lo spazio-tempo abbia proprietà elastiche?

Si riporta la relazione dell’energia relativistica:    W = (m*c²)/k – m*c² = E/k – E  la 1ª parte esprime l’energia (relativistica) del corpo in moto, la 2ª parte l’energia del corpo in quiete.