L’Analisi Dimensionale è un facile e potente strumento utilizzato nei fenomeni fisici per studiare le relazioni tra le varie grandezze dimensionali e ricavare nuove formule. Se abbiamo ad esempio una corda e conosciamo la sua lunghezza, densità, … da tali dati con l’analisi dimensionale è possibile trovare la formula ad esempio della frequenza di oscillazione o la velocità di propagazione della tensione. Le formule relazioni sono ricavate a meno di costanti adimensionali e devono essere verificate con esperimenti, anche al fine di determinare la suddetta costante adimensionale.
Vedi. https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_dimensionale
Considerato che le formule dimensionali si creano moltiplicando e/o dividendo le grandezze fisiche fondamentali è utile ricordare alcune regole sulle potenze:
- nel prodotto di grandezze uguali gli esponenti si sommano m1*m2 = m3;
- se si inverte una grandezza m1 il suo esponente cambia di segno 1/m = m-1;
- una grandezza con esponente 0 è uguale all’unità: m0 = 1;
- la potenza di una potenza è uguale al loro prodotto [s2]1/2 = s1.
Riportiamo alcuni esempi in cui si ricavano delle formule fisiche note. E’ possibile comunque ricavare formule anche di fenomeni fisici non conosciuti sempre da verificare con esperimenti.
Esempio 1: Un pendolo di lunghezza l [m] e massa M [M], è soggetto ad accelerazione di gravità g [m*s-2], qual’è il tempo di oscillazione del pendolo? 
Per trovare il tempo [s] gli ingredienti da scegliere sono l’accelerazione g in cui il tempo è presente con potenza -2, e la lunghezza l [m] per annullare la lunghezza contenuta nell’ accelerazione. Si scrive: l/g [s2*m-1] [m] = [s2] da cui la radice t = ( l/g )1/2 [s] (1)
A meno di un coefficiente adimensionale risulta che il tempo non dipende dalla massa ma dall’accelerazione di gravità e dalla lunghezza del pendolo.
Dividendo 1° e 2° membro della (1) per il tempo si ottiene la grandezza adimensionale (l/gt2)1/2 = 1 che assicura la correttezza dimensionale della formula.
Esempio 2: Una corda avente lunghezza l [m] e massa per unità di lunghezza ρ [M/m] è soggetta ad una forza F [M*m/s2]. Quale la velocità di propagazione v [m/s] della tensione lungo la corda? 
Le grandezze da considerare sono quelle che contengono m ed s , quindi consideriamo l’inverso 1/ρ [m/M] e la forza F [M*m/s2]
F/ρ [M*m/s2][m/M] = [m2/s2] (2) → v = (F/ρ)1/2 [m/s] Si trova che la velocità di propagazione v della forza lungo la corda dipende dalla tensione e dalla massa per unità di lunghezza. Essa aumenta con la tensione della corda e diminuisce con la densità della corda.
Qual’è la frequenza f di oscillazione della corda? Se dividiamo la velocità v [m/s] per la lunghezza della corda l [m] ricaviamo la frequenza f = (F/ρl2)1/2 [1/s] . Si trova che la frequenza di oscillazione aumenta con la tensione/forza F, mentre diminuisce con lo spessore e, soprattutto, con la lunghezza (si pensi a come varia la frequenza della corda di una chitarra).
Esempio 3: Ad una molla di costante elastica k [M/s2] è appesa una massa M [M] su 
cui agisce una accelerazione g [m/s2]. Qual’è la lunghezza l [m] di elongazione della molla? Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita l [m] e le grandezze note k, M, g elevate alle potenze incognite a, b, c, d: ka*Mb*gc*ld =1 [M/s2]a[M]b[m/s2]c[m]d =1 → Ma/s2aMbmc/s2cmd =1
Per essere verificata l’equazione le somme degli esponenti di ogni grandezza fondamentale (M, s, m) devono essere zero: Mas-2aMbmcs-2cmd =1 → Ma+bs-2a-2cmc+d =1 quindi: a+b=0; -2a-2c=0; 1c+1d=0 → b = -a; c= -a; d= -c = a posto a= 1 → b= -1, c= -1, d= 1 → k1*M-1*g-1*l1 =1 → cioè l = M*g/k Si trova che l’elongazione L della molla è proporzionale alla forza di gravità M*g e inversamente proporzionale alla costante elastica k.
Qual’è il tempo di oscillazione T [s]? Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita T [s] : ka*Mb*gc*Td = 1 cioè [M/s2]a[M]b[m/s2]c[s]d = 1 Troviamo i valori degli esponenti a, b, c, d la cui somma, per ogni grandezza, sia 0
- per M: a+b=0; per m: c =0 per s: -2a+d=0;
- da cui b = -a; c =0 d= 2a. Posto a= 1 → b= -1 c= 0 d= 2 k1*M-1*g0*T2 = 1 → T = (k/M) 1/2 Si ricava che il tempo T di oscillazione dipende da k e da M ma, a differenza del pendolo, non dalla gravità g.
Teorema di Buckingham Se in un fenomeno fisico intervengono “n” grandezze ed “m” è il numero delle grandezze fondamentali, il legame tra le “n” grandezze è riconducibile ad un legame tra “n-m” numeri puri.
Nell’esempio della molla sono presenti n = 5 grandezze fisiche: k, M, g, l, s ed m =3 grandezze fondamentali: M, m, s. Per il teorema suddetto si possono ricavare n – m = 5-3 = 2 grandezze adimensionali:
Mg/kl = 1 e k/MT2 = 1 e con esse una funzione F(Mg/(kl) , k/(MT2)) = 0 Cioè è possibile rappresentare il sistema in esame con una funzione F composta da due gruppi adimensionali, ossia descrivere il fenomeno con un unico grafico: una grandezza adimensionale in ascissa e una grandezza adimensionale in ordinata. Si può ancora scrivere Mg = (kl)*f(k/MT2) con una funzione f sconosciuta da studiare.
In alcuni casi, per affinare l’analisi dimensionale, è meglio considerare come grandezze diverse le direzioni dei vettori così da avere a disposizione maggiori grandezze.
Esempio 4: Proiettile di massa M lanciato nel piano xy a velocità V di componenti Vx =Lx/T e Vy= Ly/T e soggetto ad accelerazione di gravità g [Ly/T2] lungo y.
Con l’analisi dimensionale ricaviamo Ly = Vy2/g [m/s]2[m/s2] Si rileva che l’altezza dipende solo dalla componente Vy, inoltre nella relazione Ly*g = Vy2 (posto g costante) si intravede la relazione che lega la quota con la velocità al quadrato ossia il legame tra energia cinetica ed energia potenziale.
Se si esprimono i tempi lungo i due assi T = Lx /Vx [m]/[m/s] : T = Vy/g [m/s][m/s2] e si uguagliano si ha: Lx /Vx = Vy/g da cui la gittata R = Lx = VxVy/g Si rileva che la gittata è max se Vx =Vy cioè se la velocità è inclinata di θ = 45°.
L’analisi dimensionale si può applicare alle equazioni differenziali o integrali ricordando che: y’ = dx/dt [m/s] , y” = d2x/dt2 [m/s2] … d(dT/dx’)dt = d(dT/dx/dt)dt = dT/dx Se T = [M]: M’ = dM/dt [M/s] , M” = d2M/dt2 [M/s2] , dM/dx’ = [Ms/m] d(dM/dx’)dt= dM/dx [M/m] . Per gli integrali ∫ Mdt [Mt] ∫ ∫ Mdt [Mt2] …
Grandezza fisica |
Simbolo dimensionale |
Grandezza fisica |
|
Simbolo dimensionale |
||||
lunghezza |
L m |
area |
A |
m2 |
||||
massa |
M |
volume |
V |
m3 |
||||
tempo |
T s |
velocità |
v |
m · s−1 |
||||
corrente elettrica |
I |
velocità angolare |
ω |
s−1
|
||||
temperatura |
Θ |
accelerazione |
a |
m · s−2 |
||||
quantità di sostanza |
N |
momento meccanico |
N · m = m2 · kg · s−2 |
|||||
intensità luminosa |
J |
numero d’onda |
n |
m−1 |
||||
densità |
ρ |
kg/m³ |
||||||
frequenza |
f, ν |
hertz |
Hz |
s−1 |
||||
forza |
F |
newton |
N |
kg m · s−2 |
||||
pressione, sollecitaz |
p |
pascal |
Pa |
= kg · m−1 · s−2 |
||||
energia, lavoro, calore |
E, Q |
joule |
J |
= kg · m2 · s−2 |
||||
potenza, flusso radia |
P, W |
watt |
W |
= kg · m2 · s−3 |
||||
Analisi dimensionale ed equazioni differenziali Operatori Differenziali
Testo_Longo_Analisi_Dimensionale_e_Modellistica_Fisica.pdf
https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-88-470-1646-0%2F1.pdf
Serie di Fourier …
https://users.dimi.uniud.it/~paolo.baiti/corsi/AA2014-15/EquaDiff/dispense-EqDif-14alpha.pdf