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Analisi Dimensionale e Formule Fisiche

L’Analisi Dimensionale è un facile e potente strumento utilizzato nei fenomeni fisici per studiare le relazioni tra le varie grandezze dimensionali e ricavare nuove formule.  Se abbiamo ad esempio una corda e conosciamo la sua lunghezza, densità,  …  da tali dati con l’analisi dimensionale  è possibile trovare la  formula ad esempio della frequenza di oscillazione o la velocità di propagazione della tensione. Le formule relazioni sono  ricavate a meno di costanti adimensionali e devono essere  verificate con  esperimenti, anche al fine di determinare la  suddetta costante adimensionale.

                    Vedi.   https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_dimensionale

Considerato che le formule dimensionali si creano moltiplicando e/o dividendo le grandezze fisiche fondamentali è utile ricordare alcune regole sulle potenze:

  1. nel prodotto di grandezze uguali gli esponenti si sommano m1*m2 = m3;
  2. se si inverte una grandezza m1 il suo esponente cambia di segno 1/m = m-1;
  3. una grandezza con esponente 0 è uguale all’unità: m0 = 1;
  4. la potenza di una potenza è uguale al loro prodotto [s2]1/2  = s1.

Riportiamo alcuni esempi in cui si ricavano delle formule fisiche note. E’ possibile  comunque ricavare formule anche di fenomeni fisici non conosciuti sempre da verificare con esperimenti.

Esempio 1: Un pendolo di lunghezza l [m] e massa M [M], è soggetto ad accelerazione di gravità   g [m*s-2],   qual’è il tempo di oscillazione del pendolo?    pendolo     Per trovare il tempo [s] gli ingredienti da scegliere sono l’accelerazione g in cui il tempo è presente con potenza -2, e la lunghezza l [m] per annullare la lunghezza contenuta nell’ accelerazione.  Si scrive:          l/g [s2*m-1] [m] = [s2]   da cui la radice  t = ( l/g )1/2  [s]    (1)

A meno di un coefficiente adimensionale risulta che il tempo non dipende dalla massa ma dall’accelerazione di gravità e dalla lunghezza del pendolo.

Dividendo 1° e 2° membro della (1) per il tempo si ottiene la grandezza adimensionale    (l/gt2)1/2 = 1  che assicura la correttezza dimensionale della  formula.


Esempio 2: Una corda avente lunghezza l [m] e massa per unità di lunghezza ρ [M/m] è soggetta ad una forza F [M*m/s2]Quale la velocità di propagazione v [m/s] della tensione lungo la corda?    fune
Le grandezze  da considerare sono quelle che contengono m ed s , quindi consideriamo l’inverso 1/ρ [m/M] e la forza  F [M*m/s2
F/ρ [M*m/s2][m/M] = [m2/s2(2)               →       v = (F/ρ)1/2   [m/s]         Si trova che la velocità di propagazione v della forza lungo la corda dipende dalla tensione e dalla massa per unità di lunghezza. Essa  aumenta con la tensione della corda e diminuisce con la densità della corda.

Qual’è la frequenza f  di oscillazione della corda? Se dividiamo la velocità v [m/s] per la lunghezza della corda l [m] ricaviamo la frequenza f (F/ρl2)1/2  [1/s] . Si trova che la frequenza di oscillazione aumenta con la tensione/forza F, mentre diminuisce con lo  spessore e, soprattutto, con la lunghezza (si pensi a come varia la frequenza della corda di una chitarra).


Esempio 3: Ad una molla di costante elastica k [M/s2] è appesa una massa M [M] su mollacui agisce una accelerazione g [m/s2].                 Qual’è la lunghezza [m] di elongazione della molla?    Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita l [m] e le grandezze note k, M, g elevate alle potenze incognite  a, b, c, d:   ka*Mb*gc*l=1      [M/s2]a[M]b[m/s2]c[m]d =1 →  Ma/s2aMbmc/s2cm=1 
Per essere verificata l’equazione le somme degli esponenti di ogni grandezza fondamentale (M, s, m) devono essere zero:         Mas-2aMbmcs-2cm=1       →                        Ma+bs-2a-2cmc+d =1            quindi:                       a+b=0;                -2a-2c=0;              1c+1d=0          →                 b = -a;               c= -a;              d= -c = a            posto      a= 1    →      b= -1,     c= -1,     d= 1       →            k1*M-1*g-1*l=1      →      cioè    l = M*g/k               Si trova che l’elongazione L della molla è proporzionale alla forza di gravità M*g e inversamente proporzionale alla costante elastica k.   

Qual’è il tempo di oscillazione T [s]?  Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita T [s] :      ka*Mb*gc*T= 1     cioè    [M/s2]a[M]b[m/s2]c[s]d = 1             Troviamo i valori degli esponenti a, b, c, d   la cui somma, per ogni grandezza, sia 0

  • per M: a+b=0;            per m: c =0                 per s:    -2a+d=0;
  • da cui       b = -a;              c =0           d= 2a.                Posto      a= 1    →        b= -1        c= 0      d= 2      k1*M-1*g0*T= 1     →   T = (k/M) 1/2                        Si ricava che il tempo T di oscillazione dipende da k e da M ma, a differenza  del pendolo,   non dalla gravità g.

 Teorema di Buckingham Se in un fenomeno fisico intervengono “n” grandezze ed “m” è il numero delle grandezze fondamentali, il legame tra le “n” grandezze è riconducibile ad un legame tra “n-m” numeri puri.

Nell’esempio della molla sono presenti n = 5 grandezze fisiche:  k, M, g, l, s  ed m =3 grandezze fondamentali: M, m, s. Per il teorema suddetto si possono ricavare  n – m = 5-3 = 2 grandezze adimensionali:

    Mg/kl  = 1        e         k/MT2 = 1    e con esse una funzione F(Mg/(kl) , k/(MT2)) = 0  Cioè è possibile rappresentare il sistema in esame con una funzione F composta da due gruppi adimensionali, ossia descrivere il fenomeno con un unico grafico: una grandezza adimensionale in ascissa e una grandezza adimensionale in ordinata.         Si può ancora scrivere Mg = (kl)*f(k/MT2) con una funzione f  sconosciuta da studiare.


In alcuni casi, per affinare l’analisi dimensionale, è meglio considerare come grandezze diverse le direzioni dei vettori così da avere a disposizione maggiori grandezze.proiettile
Esempio 4: Proiettile di massa M lanciato nel piano xy a velocità V di  componenti  Vx =Lx/T e Vy= Ly/T  e soggetto ad accelerazione di gravità g [Ly/T2] lungo y.
Con l’analisi dimensionale ricaviamo   Ly = Vy2/g   [m/s]2[m/s2]   Si rileva che l’altezza dipende solo dalla componente Vy,    inoltre nella relazione  Ly*g = Vy2 (posto g costante) si intravede la relazione che lega la quota con la velocità al quadrato ossia il legame tra energia cinetica ed energia potenziale.
Se si esprimono i tempi lungo i due assi  T = Lx /Vx [m]/[m/s] : T = Vy/g [m/s][m/s2]  e si uguagliano si ha:   Lx /Vx = Vy/g  da cui la gittata R = Lx = VxVy/g      Si rileva che la gittata è  max  se Vx =Vy cioè se la velocità è inclinata di θ = 45°.


L’analisi dimensionale si può applicare alle equazioni differenziali o integrali ricordando che:  y’ = dx/dt  [m/s]   ,   y” = d2x/dt2  [m/s2]    …     d(dT/dx’)dt  = d(dT/dx/dt)dt  =  dT/dx   Se   T = [M]:    M’ = dM/dt [M/s]   ,    M” = d2M/dt2  [M/s2]   ,    dM/dx’ = [Ms/m]  d(dM/dx’)dt= dM/dx  [M/m] .   Per gli integrali    ∫ Mdt  [Mt]       ∫ ∫ Mdt  [Mt2]   …

Grandezza fisica
Simbolo dimensionale
Grandezza fisica
 
Simbolo dimensionale
lunghezza
L  m
area
A
m2
massa
M
volume
V
m3
tempo
T  s
velocità
v
m · s−1
corrente elettrica
I
velocità angolare
ω
s−1
rad · s−1
temperatura
Θ
accelerazione
a
m · s−2
quantità di sostanza
N
momento meccanico
N · m = m2 · kg · s−2
intensità luminosa
J
numero d’onda
n
m−1
densità
ρ
kg/m³
frequenza
f, ν
hertz
Hz
s−1
forza
F
newton
N
 kg m · s−2
pressione, sollecitaz
p
pascal
Pa
= kg · m−1 · s−2
energia, lavoro, calore
E, Q
joule
J
= kg · m2 · s−2
potenza, flusso radia
P, W
watt
W
= kg · m2 · s−3

Analisi dimensionale ed equazioni differenziali  Operatori Differenziali

Testo_Longo_Analisi_Dimensionale_e_Modellistica_Fisica.pdf

https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-88-470-1646-0%2F1.pdf

Serie di Fourier …

https://users.dimi.uniud.it/~paolo.baiti/corsi/AA2014-15/EquaDiff/dispense-EqDif-14alpha.pdf

Serie Fourier

 

Fourier.JPG

 

Analisi di Fourier col programma Fourier12.xls

Con la Serie di Fourier è possibile rappresentare una funzione f(x) (anche non periodica) come la sovrapposizione di onde fondamentali dette armoniche (cos(nx) e sin(nx)).

Poichè in natura quasi tutti i  fenomeni sono di tipo periodico: onde sonore, onde luminose, cicli di maree, cicli lunari., si può ipotizzare che anche i fenomeni non periodici possono considerarsi come una somma di fenomeni periodici ovvero di onde fondamentali.

 I coefficienti an e bn, detti coefficenti di Fourier, esprimono le ampiezze ovvero i pesi delle sinusoidi e cosinusoidi,  a0/2 corrisponde al valor medio in un periodo della funzione f(x).

Ogni funzione f (x) può essere decomposta in una funzione pari Fourier2 fp e in una funzione dispari fd. La funzione seno è ad esempio una funzione dispari mentre la funzione coseno è una funzione pari.  E’ possibile  con  una “operazione di traslazione” rappresentare una funzione f(x) come somma di solo seni o coseni.
Il file Fourier Sen Cos .doc  illustra i due modi, utilizzando le funzioni pari e dispari, per calcolare i coefficienti per i seni e i coseni che descrivono la funzione.  Il file Fourier Sen Cos.xls  calcola sia i coefficienti an e bn, di Fourier, sia i coefficienti per i seni che per i coseni.