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 SPAZIO-TEMPO E RELATIVITA’

 La teoria della relatività considera come variabili lo spazio e il tempo e  pone le 2 condizioni :

1. Le leggi della fisica sono uguali per tutti i sistemi di rifermento inerziali;
2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Dilatazione del tempo t’. Per il sistema S’ in moto in direzione x, si ha la dilatazione del tempo:     dt’  = dt/(1- v²/ c²)^1/2       se poniamo       (1- v²/ c²)^1/2 = γ      si scrive     dt’ = dt / γ

Contrazione dello spazio x’.  la contrazione dello spazio lungo la direzione del moto x è:  dx’ = dx*(1- v²/ c²)^1/2            da cui             dx’ = dx* γ .

Si osserva che il prodotto spazio*tempo dx’*dt’ non varia con la velocità, ossia dx’* dt’ = dx*dt *γ/γ = dx*dt = costante. Cioè la dilatazione temporale viene compensata dalla contrazione spaziale.  Si osserva, inoltre, che mentre il tempo dt non dipende dalla direzione spaziale, lo spazio ds  dipende dalla direzione, in quanto la contrazione risulta massima nella direzione del moto x mentre è nulla nella direzione ortogonale al moto y. In particolare al variare della direzione lo spazio ds (così come lo spazio*tempo ds*dt),  descrive nel piano un ellisse (ellissoidi nello spazio), con asse minore nella direzione del moto  e asse maggiore nella direzione ortogonale al moto. Nello spazio x,y con moto lungo x  il valore del tempo può essere rappresentato con un cerchio di raggio dilatato  t/γ, mentre il valore dello spazio con una ellisse avente l’asse x contratto dx*γ. Il valore spazio*tempo, pertanto, resta invariato solo lungo la direzione del moto, mentre aumenta nelle altre direzioni, in particolare nella direzione ortogonale al moto (vedi figura).

 Cioè: In un sistema inerziale la grandezza vettoriale spazio*tempo ds*dt resta costante e minima solo lungo la direzione del moto.

  PRINCIPIO DI MINIMA AZIONE 

Consideriamo adesso il Principio di Minima Azione, questo principio asserisce che: la traiettoria percorsa dal corpo è quella per cui l’azione S risulta minima, cioè  il prodotto Forza*Spostamento*Tempo è minimo, ossia:   Smin = F*ds*dt .  Per il moto inerziale, poiché la forza è nulla, possiamo sopporre che l’azione S risulti minima quando è minimo lo spazio*tempo ds*dt.  Ricordando quanto detto sopra in merito al variare della grandezza spazio*tempo ds*dt  secondo la Teoria della Relatività essa risulta minima nella direzione del moto. Possiamo supporre cioè che: la Teoria della Relatività  ed il Principio di Minima Azione siano aspetti diversi di una stessa legge.  Se definiamo il   vettore spazio*tempo avente come modulo il prodotto spazio*tempo e direzione e verso quella del moto, possiamo ritenere che: un corpo percorre un moto rettilineo uniforme lungo la direzione in cui il vettore spazio*tempo ha valore minimo, con una velocità proporzionale al  suddetto vettore.  Potremmo pensare cioè che i corpi si muovano su dei binari dello spazio-tempo.

Relatività Generale. Consideriamo adesso un corpo in moto con accelerazione costante. Ricordiamo il Principio di Minima Azione: la traiettoria percorsa dal corpo è la traiettoria con azione minima:   Smin = F*ds*dt.  Se consideriamo un corpo  soggetto  alla forza di gravità, la sua accelerazione  non dipende dalla sua massa (mentre Galileo aveva dedotto che la piuma e il martello cadono con la stessa accelerazione, Newton non chiariva in che modo i corpi si attraessero attraverso il vuoto. Ancora una volta è la  luce con la sua velocità costante a “chiarire” la questione.   Come per i sistemi inerziali  anche per i sistemi accelerati si è ricavato il legame spazio*tempo  in funzione dell’accelerazione.        Considerando costante la velocità della luce,  si possono rilevare i tempi degli orologi in funzione dell’accelerazione e del luogo.       La genialità di Einstein si è manifestata nell’uguagliare l’energia gravitazionale con l’energia cinetica  G*M*m/r = 1/2*mv² da essa si può ricavare la velocità  v = 2*G*M/r funzione della gravità , che per la R.R. deforma lo spazio*tempo. Come nella R.R. anche nella R.G. il corpo viene, quindi, ad essere immerso  in uno spazio*tempo  deformato in cui è  inglobata la forza di gravità.  Anche qui varrebbe il  valore del vettore spazio*tempo ds*dt  minimo. La geodetica che ha natura cinematica costituisce la minima lunghezza nello spazio*tempo equivale al principio di minima azione che ha natura dinamica.

   P.S.: La grandezza ds*dt  nello spazio*tempo x,y,z,t può essere rappresentato con un ellissoide simmetrico rispetto all’asse x schiacciato lungo tale direzione,  e descritto matematicamente con un tensore.

Consideriamo, adesso, il fenomeno della rifrazione. Quando la luce passa dal vuoto ad un mezzo con indice di rifrazione maggiore, essa diminuisce la sua velocità ed accorcia la sua lunghezza d’onda. Poiché il rallentamento della luce può interpretarsi come rallentamento (dilatazione del temporale), se calcoliamo la grandezza prodotto di tale dilatazione temporale e per la contrazione della lunghezza d’onda  (contrazione spaziale)  si nota che tale grandezza rimane costante. Cioè il vettore spazio*tempo rimane costante anche se la luce varia la sua velocità (ad esempio da un mezzo ad un altro). Per tale motivo ritengo che debba essere considerata invariante la grandezza spazio*tempo e non la velocità della luce.

Vedremo come sia possibile interpretare in maniera diversa la R.R. mediante l’invarianza del vettore spazio*tempo.