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La Relatività senza paradossi

Premessa:

Le costanti elettrica ε e magnetica μ sono state definite per descrivere i campi  statici (in assenza di moto), prodotti da una carica elettrica da un magnete. Con cariche o magneti in moto Maxwell ha scoperto che l’onda elettromagnetica si propaga nello spazio con velocità costante (velocità della luce c) dipendente proprio da tali costanti ε e μ. 

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Con gli esperimenti di Michelson e Morley, finalizzati alla ricerca dell’etere, si è scoperto la costanza/invarianza della  velocità della luce in percorsi di andata e ritorno, per qualunque velocità del sistema (interferometro).  Per poter spiegare  questo strano fenomeno  si è dovuto ipotizzare che il tempo e  lo spazio fossero deformabili con la velocità del sistema. Le Trasformazioni di Lorentz  (sulle quale si fonda La Teoria della Relatività) sono state ricavate ipotizzando altresì (2° postulato della RS) la costanza  della velocità della luce c lungo una sola direzione per tutti i sistemi di riferimento (ossia per qualsiasi velocità del sistema). Da tale ipotesi deriva il paradosso matematico c-v = c = c+v. Tale equazione non risulta valida in quanto la velocità c  ha un valore non infinito (300.000 km/s). Questa equazione, d’altra parte, non è mai stata dimostrata da nessun esperimento.

Gli esperimenti di Michelson e Morley dimostrano infatti : “La costanza della velocità della luce nel vuoto in un percorso di andata e ritorno in tutti i sistemi di riferimento“. Tale costanza della velocità della luce ci permette di ricavare una deformazione dello spazio – tempo  in funzione della velocità v che solo “nella forma” risulta uguale  alla deformazione di Lorentz. Nell’esempio di seguito tale invarianza ci permette di definire la deformazione dello spazio e del tempo, considerando la deformazione di una sfera in moto: “una sfera è realmente tale (qualunque sia la sua velocità)  se i raggi nel percorso dal centro alle pareti e ritorno impiegano lo stesso tempo”.

Consideriamo, quindi, due sfere di raggio unitario (rappresentanti 2 sistemi di riferimento), la prima  ferma rispetto ai raggi di luce l’altra in moto con velocità v=c/2. Per quanto detto, le 2 sfere sono effettivamente sfere se per ciascuna sfera i raggi di luce, partendo dal loro centri in direzioni diverse, dopo essere stati riflessi dalle pareti di tali sfere, ritornano ai centro contemporaneamente.

Si osserva dal filmato che: Nella sfera ferma i raggi di luce partono dal centro e ritornano al centro contemporaneamente dopo un tempo t= 1; Nella sfera in moto, invece, i raggi percorrono una traiettoria obliqua (per l’osservatore esterno) in un tempo t’ maggiore di t (dilatazione del tempo). Nel sistema in moto la luce impiega più tempo ossia rallenta. Inoltre nella direzione del moto, poiché la luce deve impiegare lo stesso tempo in tutte le direzioni, si ha una contrazione dello spazio. .

Il filmato spiega che, con la condizione di invarianza della velocità della luce in un percorso bidirezionale, in che modo il tempo si dilata e lo spazio si contrae. Inoltre da essa si rileva che i raggi arrivano alle pareti in tempi diversi, per cui eventi simultanei per l’osservatore esterno non lo sono per l’altro osservatore. Per la Relatività Speciale, l’osservatore solidale alla sfera in moto ritiene ferma la sua sfera e in moto l’altra, inoltre vede partire i raggi di luce dal centro della sua sfera e li vede ritornare tutti nello stesso istante.

 Calcoliamo la R.R. triangolodilatazione del tempo t’. Nella sfera in moto il raggio di luce che si muove in direzione y per l’osservatore S’, per l’osservatore S esterno si muove lungo la diagonale. Il tempo lungo la diagonale t’  è maggiore del tempo t lungo la verticale. La sfera infatti durante il tempo t’ si sposta di  v*t’ per cui possiamo considerare il triangolo rettangolo avente come cateti: il raggio lungo la verticale: r = c*t e lo spostamento: dx = v*t’, e come ipotenusa la diagonale c*t’. Dal teorema di Pitagora: c2*t2=c2*t’2-v2*t’2  quindi  la dilatazione: t’  = t/(1- v2/ c2)1/2    posto (1- v2/ c2)1/2 = γ       si ha           t’ = t / γ      (2)

Dalla  relazione c* t2 = c* t’2 – v* t’2    si osserva che la grandezza spazio tempo d2 = c* t2  non varia con la velocità v, essa è cioè un’invariante e può essere scritta: d = c* t’2 – dx’ =  cost.      

Calcoliamo la contrazione dello spazio x’.    Consideriamo  il raggio di luce nella direzione x. Se la parete va incontro al raggio esso impiega un tempo  t’ = r/(c+v),  mentre se la parete si allontana il raggio impiega un tempo  t” = r/(c-v) .   Il tempo totale di andata e ritorno risulta:        t’+t’’ = r/(c+v)+r/(c-v) =  r(c+v +c-v) / (c2-v2)  = 2rc/(c2-v2)  =  2r/c/(1- v2/c2)       →       tx = r/c/(1- v2/c2)  = t /(1- v2/c2)      →      tx =  t / γ2     tale tempo tx  risulta più lungo  del tempo dilatato  t’ = tx / γ di un fattore 1/γ.  Poiché deve essere verificata la condizione della  costanza della velocità della luce in tutte le direzioni, tale maggior tempo viene compensato (dalla natura)  con la contrazione  γ dello spazio lungo la direzione del moto, ossia  Lx = L* γ  (3).

In definitiva: si ha una contrazione dello spazio nella direzione del moto in quanto la velocità c della luce, nel suo percorso di andata e ritorno, rimane costante in tutte le direzioni.

Ipotizzando che la materia (con le sue particelle) interagisca alla velocità della luce, si possono ritenere reali la dilatazione del tempo e la contrazione dello spazio. 

ll tempo e lo spazio. Con la suddetta condizione si può dedurre che la materia (con le sue particelle)  interagisca alla velocità della luce nelle due direzioni (di andata e ritorno). Lo scorrere del tempo  per le particelle può identificarsi come la velocità di interazione  (mediante campi potenziali)  tra essi. Tale interazione avviene mediante i campi (di forza) che viaggiano alla velocità della luce in uno spazio a 3 dimensioni. Con tale condizione, inoltre, lo spazio-tempo a 4 dimensioni non esiste. D’altra parte le forze dovrebbero avere una distribuzione nello spazio secondo una legge 1/r³,  che contrasterebbe con l’equazione di continuità dei campi. Vedi a proposito l’articolo:  Vuoto, energia e materia. In definitiva il corpo con la sua velocità modifica il proprio tempo e la propria forma per mezzo della luce, mentre il campo prodotto dal corpo modifica/rallenta la velocità della luce.

   Vedi  La luce come Sistema di Riferimento assoluto.

Calcolo della velocità assoluta

Premessa. La Teoria della Relatività Ristretta ipotizza la velocità della luce uguale per qualsiasi sistema di riferimento. Tale teoria, pertanto, esclude l’esistenza di un sistema di riferimento assoluto. Con la scoperta della radiazione fossile di fondo (RFF) risalente agli anni ’60, tuttavia, si può ipotizzare l’esistenza di un sistema di riferimento assoluto a cui riferire tutti gli altri sistemi. Chiamiamo questo sistema con la sigla S0. In tale sistema non si registrerebbe allora alcun effetto Doppler per la radiazione suddetta.  Si richiama l’articolo di Arrigo Amadori: Un sistema di riferimento “assoluto”.

E’ possibile ideare un esperimento che calcoli la velocità di un sistema rispetto a un sistema di riferimento assoluto?   Nell’esperimento di Michelson-Morley poichè il sistema di riferimento è uno solo la Terra oltre ai raggi di luce, dobbiamo supporre che la velocità sia da riferirsi al sistema luce. Osserviamo che i due raggi  di luce compiono, dallo specchio semi-riflettente ai due specchi, percorsi di andata e ritorno nei due bracci posti a 90° tra loro. L’esperimento dimostra pertanto che il tempo totale (di andata e ritorno) impiegato dai due raggi è uguale, qualunque sia la velocità del sistema.   Si può supporre che i tempi  impiegati dai due raggi siano  uguali proprio perché fanno percorsi di andata e ritorno.  Consideriamo, allora, un esperimento che confronti i tempi impiegati dai due raggi in percorsi di solo andata o di solo ritorno.

ESPERIMENTO: Consideriamo il sistema asta solidale alla Terra, di centro B, estremi A e C e lunghezza 2L. Sincronizziamo due orologi di alta precisione nel centro B dell’asta, trasportandoli a bassa ed uguale velocità agli estremi A e C dell’asta, al fine di avere rallentamenti relativistici trascurabili degli orologi (e comunque uguali) rispetto al sistema asta. Quindi facciamo partire nello stesso istante dal centro B due raggi di luce uno verso A e l’altro verso C. I loro tempi di arrivo: tA e tC siano registrati dagli orologi posti in A e C. Se i tempi risultassero uguali tA = tC non sarà possibile determinare il movimento del sistema asta  rispetto alla luce.

Se invece  i tempi di arrivo  segnati dai due orologi risultassero diversi di Δt = tc – t (asta in moto da A verso C) si dovrà dedurre che il sistema asta  è in moto rispetto al sistema luce. In particolare, sebbene non si conoscano i tempi impiegati dai due raggi ma la loro differenza Δt, si   possono scrivere le seguenti relazioni :Riferim Assoluto

  • per il raggio da B ad A: c*ta+v*ta = L      →    ta = L /(c+v)       (5a)
  • per il raggio da B a C: c*tc – v*tc = L       →    tc = L /(c-v)       (5b)

Poichè  tc – ta = Δt    sottraendo membro a membro si ha :         Δt =  L*(1/(c-v) -1/(c+v)) =        2*v* L/(c²-v²)    (6)

Con la (6)  noto Δt, considerando L senza contrazione, è possibile calcolare in prima approssimazione la velocità v del sistema asta lungo la direzione AC dell’asta. Nota tale velocità si calcola la contrazione dell’asta L e ricalcolare con la (6) il tempo e quindi la velocità in seconda approssimazione e così via.    Per trovare la velocità complessiva occorrerà, inoltre, ripetere le misure lungo le altre due direzioni ortogonali alla direzione AC dell’asta. Occorre evidenziare che le misure dei tempi di arrivo dei raggi in A e C viene eseguita con due orologi (sincronizzati come sopra indicato) posti nello stesso sistema di riferimento asta.

Vedi da Wikipedia: Esperimenti per misurare la velocità della luce a senso unico   L’esperimento di The Greaves, Rodriguez e Ruiz-Camacho.

Supponendo che la Terra (ruotando attorno al Sole, che a sua volta ruota attorno al centro della galassia …) abbia una velocità v = 3 km/s, posto L = 1.000 km. dalla (6),  si ricava una differenza di tempo Δt = 2*3* 1/(9×10^16)  = 6/9* 10^-12 secondi. Mentre se si ha un  Δt  = 10^-10  dalla  (6) si  può ricavare con buona approssimazione  una velocità  v  =  Δt*c² / 2*L =  10^-12* 9*10^18/2.000 = 4.500 m/s. Gli orologi atomici al cesio che hanno una precisione dell’ordine di 10^-16 sarebbero in grado di rilevare tale differenza di tempo.

Si può  allora supporre che la suddetta velocità v  sia da riferire al sistema di riferimento S0  della radiazione di fondo, che potremo considerare il sistema di riferimento assoluto.