Il diagramma Spazio-Tempo di Minkowski.

Nel filmato sfere in moto  si osserva perché  e come in un sistema in moto  il tempo si dilata e lo spazio si contrae con la velocità.

Rappresentiamo adesso nel diagramma Spazio-Tempo di Minkowski (X;T) il moto della sfera e il percorso dei raggi per trovare gli assi X’ e T’ per la suddetta sfera. Il centro della sfera e le 2 pareti (anteriore e posteriore) della sfera descrivono nel tempo 3 rette parallele  passanti rispettivamente per O, per a e b, aventi inclinazione v rispetto alla verticale (se ad esempio v= 0,3*c la retta del centro della sfera passa per l’origine (0;0) e per il punto  (1; 0,3). I raggi di luce a’ e b’ nel tempo descrivono i segmenti OA’O’ e OB’O’ inclinati di 45° in quanto si è posto la velocità della luce  c=1.  Poiché la sfera si  contrae all’aumentare della velocità v le rette a e b si avvicinano fra loro di  (1-v^2)^0,5.

L’aDiagramma Minkowskisse degli Spazi X’ e dei Tempi T’ per il sistema in moto I raggi di luce a’ e b’  partono da O (centro della sfera al tempo t=0) e incontrano le pareti (rette a e b) nei punti A’ e B’  quindi ritornano al centro O’ nello stesso istante dopo un tempo t’. Si fa notare che:  OA’ = B’O’ e A’O’ = OB’, e che i punti OA’O’B’  formano un rettangolo  ruotato di 45°.  Le diagonali  OO’ e A’B’ di tale rettangolo sono le direzione degli assi T’ e X’ cercati. Infatti l‘asse T’ è il percorso del centro della sfera nel tempo, l’asse X’ passante per i punti A’ e B’, è l’asse di simultaneamente. Per l’osservatore in moto, infatti, i raggi che partono dal centro contemporaneamente devono arrivare contemporaneamente alle pareti (punti A’ B’). Gli assi T’ e X’ risultano simmetrici al raggio di luce passante per l’origine di tali assi. Da tale diagramma si osserva che un segmento solo spaziale per un osservatore per l’altro è spaziale e anche temporale e viceversa un segmento solo temporale per un osservatore per l’altro è temporale e anche spaziale.

Nel filmato sotto i raggi a’ e b’ partono dal centro della sfera O toccano le pareti nei punti A’ e B’ quindi ritornano al centro in O’. Il tempo impiegato dai raggi  t’ è maggiore di t (a sfera ferma).

Si osserva che all’aumentare della velocità: a) la distanza tra le rette a e b si contrae (contrazione della sfera nella direzione del moto);   b) gli assi da ortogonali per v=0 si inclinano entrambi verso i di 45° della luce;  c) il punto O’ descrive l’iperbole (equilatera) dei tempi t’ unitari in funzione della velocità.

Calcolo grafico delle unità di tempi e di lunghezze.

Trovati gli assi T’ e X’ per il sistema in moto calcoliamo le unità di tempo e di spazio. Disegniamo un cerchio di centro O e raggio unitario OB = 1. Posta la velocità della luce c=1, da O lungo l’orizzontale riportiamo la velocità v = OA  e dal punto A la verticale. L’intersezione di tale verticale con il cerchio definisce il punto B (figura 2). Il valore di AB costituisce il coefficiente di contrazione spaziale, mentre 1/AB costituisce il coefficiente di dilatazione temporale.

Spiegazione: Nella sfera ferma il raggio di luce parte dal centro O verso il soffitto e percorre il tratto verticale AB nel tempo proprio t. Nella sfera in moto il raggiSpazi tempi unitario parte dal centro O e percorre il tratto obliquo OB in un tempo proprio t’ >t. Il rapporto t’/t costituisce il coefficiente di dilatazione temporale cercato. Calcolo: Del triangolo rettangolo OAB noti OB =1 e OA= v  per il teorema di Pitagora BA2 = BO2 -OA2= 1- v2 da cui  BA=  (1-v2)1/2  I lati del triangolo risultano proporzionali ai tempi t e t’ : OB/BA = t’/t = c/d = 1/(1-v2)1/2 = 1/γ,  e alle distanze x e x’ : BA/OB = x’/x = d/c = γ.

Nota: Il tempo t’x che impiegherebbe il raggio a percorrere lo spazio in andata e ritorno nella direzione del moto  (vedi figura 1) sarebbe  OO’ = t’+t’’ = r/(c+v)+r/(c-v) =  r(c+v+c-v) / (c2-v2) = 2rc/(c2-v2) = 2r/c/(1-v2/c2)   →   t’x= r/c/(1-v2/c2)= t/(1- v2/c2)    posto γ = (1-v2)1/2  ossia  t’x = t / γ2.    Poiché il rapporto tra i tempi t’ e t’x  sarebbe allora: t’/t’x  = 1/γ (che comporterebbe un  arrivo dei raggi lungo x in ritardo rispetto agli altri raggi), è necessaria una contrazione γ lungo la direzione del moto per rispettare la condizione che la luce (nel percorso di andata a ritorno) abbia la stessa velocità.

Confronto tra i 2 diagrammi  T-X e T’-X’.

  1. Al variare della velocità gli assi T’, X’   risultano speculari al raggio di luce per cui la  velocità della luce è sempre  c=1;
  2. Per  v = 0 gli assi T’e X’  coincidono con gli assi T e X , con l’aumento di v gli assi T’ e X’  si avvicinano al raggio di luce;
  3. Due eventi A’ e B’ simultanei per il sistema S’ non lo sono per S; analogamente i due eventi A e B simultanei per S non lo sono per S’;
  4. Un evento che in S (S’) si muove solo nello spazio o nel tempo in S’ (S) si muove sia nello spazio che nel tempo;
  5. Una maggiore inclinazione (velocità) di T’ rispetto a T indica un rallentamento del tempo e una contrazione dello spazio X’ rispetto a X;
  6. Qualunque sia la velocità del sistema S la luce ha sempre inclinazione di 45° (c costante) e ha sempre direzione  verso l’alto (tempo in avanti);
  7. Il punto di intersezione degli assi rappresenta l’evento presente (qui e ora);
  8. Il cono di luce con T positivo costituisce il futuro mentre il cono di luce con T negativo costituisce il passato;
  9. Eventi fuori dal cono di luce futuro non possono influire sul futuro in quanto i segnali non possono propagarsi a velocità superiori alla   luce.

Il paradosso dei gemelli.

RR GemelliRiportiamo nel diagramma  trovato il famoso paradosso dei gemelli. Il 1° gemello fermo è rappresentato con la freccia nera. Il 2° gemello in moto è rappresentato dalla freccia rossa e si allontana dal 1° gemello con velocità v = 0,8*c (con c=1 velocità della luce). Dopo un tempo 5 anni ritorna dal suo gemello e alla stessa velocità -v. Per il 1° gemello rimasto fermo sono passati  t = 10 anni, per il 2° gemello sono passati t’ = t*(1-v2)1/2  = 10*(1-0,82)1/2  = 10*0,6 = 6 anni. Ogni anno del suo orologio  il 1° gemello trasmette un segnale radio (raggi blu) al 2° gemello. Anche il 2° gemello emette ogni anno del suo orologio un segnale radio (raggi gialli) al 1° gemello.  Sappiamo che il tempo del 2° gemello essendo in moto scorre più lentamente, 1 anno del suo tempo corrisponde a 1/0,6 = 1,67 anni del suo gemello.

Dalla figura si osserva che il numero di segnali trasmessi dal 1° gemello sono 8, mentre il numero di segnali trasmessi dal 2° gemello sono 7. Cioè per il 1° gemello sono trascorsi t = 8 anni, per il 2° gemello in moto sono trascorsi t’ = 7 anni. Sapendo che il gemello in moto ha viaggiato alla stessa velocità sia in andata che al ritorno possiamo calcolare la velocità relativa alla quale ha viaggiato il gemello: t’/t = 7/8 = (1-v2)1/2   ⇒   0,875 2 =  1 -v2     ⇒  1- 0,765  = 0,235 = v 2    da cui v = 0,484 la velocità della luce.

 

Treno in galleriaRR Treno Galleria

Un altro esempio relativistico noto è il treno e la galleria Il treno in moto è rappresentato da un segmento lungo la direzione X’ e trasla nel tempo T’ (parallelogramma giallo) alla velocità v. La galleria è rappresentata da un segmento lungo l’asse X e trasla solo nel tempo T (rettangolo azzurro). Per l’osservatore fermo il treno in moto subisce la contrazione relativistica.

Nella figura in nero sono indicati i tempi per l’osservatore a terra, in rosso i tempi per l’osservatore sul treno. Si nota che la testa del treno per l’osservatore a terra entra  nella galleria nell’istante ET-nero, mentre per l’osservatore sul treno  nell’istante ET-rosso.  La testa del treno esce dalla galleria nell’istante UT-nero  per l’osservatore a terra e nell’istante UT-rosso per l’osservatore sul treno. Infine la coda del treno per l’osservatore a terra entra nella galleria nell’istante EC-nero   mentre per l’osservatore sul treno nell’istante EC-rosso . Si osserva che l’evento EC-nero avviene prima di UT-nero, mentre  UT-rosso avviene prima di EC-rosso. Cioè per l’osservatore sul treno prima esce la testa UT poi entra la coda EC, cioè il treno non si troverà mai per intero all’interno. Per l’osservatore a terra prima entrala coda EC poi esce la testa UT, cioè nell’intervallo di tempo UT-EC il treno si troverà per intero all’interno.

Osservazioni. Per l’osservatore sul treno gli eventi alla testa del treno sono simultanei con quelli alla coda, mentre per l’Osservatore a terra sono in ritardo gli eventi alla testa (non simultaneità degli eventi).  Ad esempio per l’osservatore sul treno la testa del treno entra prima in galleria  (ET-rosso prima di ET-nero).