Matematica

Analisi Dimensionale e Formule Fisiche

L’Analisi Dimensionale è un facile e potente strumento utilizzato nei fenomeni fisici per studiare le relazioni tra le varie grandezze dimensionali e ricavare nuove formule. Se abbiamo ad esempio una corda e conosciamo la sua lunghezza, densità, … da tali dati con l’analisi dimensionale è possibile trovare la formula ad esempio della frequenza di oscillazione o la velocità di propagazione della tensione. Le formule relazioni sono ricavate a meno di costanti adimensionali e devono essere verificate con esperimenti, anche al fine di determinare la suddetta costante adimensionale.

Vedi. https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_dimensionale

Considerato che le formule dimensionali si creano moltiplicando e/o dividendo le grandezze fisiche fondamentali è utile ricordare alcune regole sulle potenze:

nel prodotto di grandezze uguali gli esponenti si sommano m¹*m² = m³;
se si inverte una grandezza m¹ il suo esponente cambia di segno 1/m = m^-1;
una grandezza con esponente 0 è uguale all’unità: m⁰ = 1;
la potenza di una potenza è uguale al loro prodotto [s²]^1/2= s¹.

Riportiamo alcuni esempi in cui si ricavano delle formule fisiche note. E’ possibile comunque ricavare formule anche di fenomeni fisici non conosciuti sempre da verificare con esperimenti.

Esempio 1: Un pendolo di lunghezza l [m] e massa M [M], è soggetto ad accelerazione di gravità g [m*s^-2], qual’è il tempo di oscillazione del pendolo? Per trovare il tempo [s] gli ingredienti da scegliere sono l’accelerazione g in cui il tempo è presente con potenza -2, e la lunghezza l [m] per annullare la lunghezza contenuta nell’ accelerazione. Si scrive: l/g [s²*m^-1] [m] = [s²] da cui la radice t = ( l/g )^1/2 [s] (1)

A meno di un coefficiente adimensionale risulta che il tempo non dipende dalla massa ma dall’accelerazione di gravità e dalla lunghezza del pendolo.

Dividendo 1° e 2° membro della (1) per il tempo si ottiene la grandezza adimensionale (l/gt²)^1/2 = 1 che assicura la correttezza dimensionale della formula.

Esempio 2: Una corda avente lunghezza l [m] e massa per unità di lunghezza ρ [M/m] è soggetta ad una forza F [M*m/s²]. Quale la velocità di propagazione v [m/s] della tensione lungo la corda?
Le grandezze  da considerare sono quelle che contengono m ed s , quindi consideriamo l’inverso 1/ρ [m/M] e la forza  F [M*m/s²]
F/ρ [M*m/s²][m/M] = [m²/s²] (2) → v = (F/ρ)^1/2   [m/s] Si trova che la velocità di propagazione v della forza lungo la corda dipende dalla tensione e dalla massa per unità di lunghezza. Essa aumenta con la tensione della corda e diminuisce con la densità della corda.

Qual’è la frequenza f di oscillazione della corda? Se dividiamo la velocità v [m/s] per la lunghezza della corda l [m] ricaviamo la frequenza f = (F/ρl²)^1/2 [1/s] . Si trova che la frequenza di oscillazione aumenta con la tensione/forza F, mentre diminuisce con lo spessore e, soprattutto, con la lunghezza (si pensi a come varia la frequenza della corda di una chitarra).

Esempio 3: Ad una molla di costante elastica k [M/s²] è appesa una massa M [M] su cui agisce una accelerazione g [m/s²]. Qual’è la lunghezza l [m] di elongazione della molla? Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita l [m] e le grandezze note k, M, g elevate alle potenze incognite a, b, c, d: k^a*M^b*g^c*l^d=1 [M/s²]^a[M]^b[m/s²]^c[m]^d=1 → M^a/s²^aM^bm^c/s²^cm^d=1
Per essere verificata l’equazione le somme degli esponenti di ogni grandezza fondamentale (M, s, m) devono essere zero: M^as^-2^aM^bm^cs^-2^cm^d=1 → M^a+bs^-2^a-2cm^c+d=1 quindi: a+b=0; -2a-2c=0; 1c+1d=0 → b = -a; c= -a; d= -c = a posto a= 1 → b= -1, c= -1, d= 1 → k^1*M^-1*g^-1*l¹=1 → cioè l = M*g/k Si trova che l’elongazione L della molla è proporzionale alla forza di gravità M*g e inversamente proporzionale alla costante elastica k.

Qual’è il tempo di oscillazione T [s]? Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita T [s] : k^a*M^b*g^c*T^d= 1 cioè [M/s²]^a[M]^b[m/s²]^c[s]^d= 1 Troviamo i valori degli esponenti a, b, c, d la cui somma, per ogni grandezza, sia 0

per M: a+b=0; per m: c =0 per s: -2a+d=0;
da cui b = -a; c =0 d= 2a. Posto a= 1 → b= -1 c= 0 d= 2 k^1*M^-1*g^0*T²= 1 → T = (k/M)^1/2Si ricava che il tempo T di oscillazione dipende da k e da M ma, a differenza del pendolo, non dalla gravità g.

Teorema di Buckingham Se in un fenomeno fisico intervengono “n” grandezze ed “m” è il numero delle grandezze fondamentali, il legame tra le “n” grandezze è riconducibile ad un legame tra “n-m” numeri puri.

Nell’esempio della molla sono presenti n = 5 grandezze fisiche: k, M, g, l, s ed m =3 grandezze fondamentali: M, m, s. Per il teorema suddetto si possono ricavare n – m = 5-3 = 2 grandezze adimensionali:

Mg/kl = 1 e k/MT² = 1 e con esse una funzione F(Mg/(kl) , k/(MT²)) = 0 Cioè è possibile rappresentare il sistema in esame con una funzione F composta da due gruppi adimensionali, ossia descrivere il fenomeno con un unico grafico: una grandezza adimensionale in ascissa e una grandezza adimensionale in ordinata. Si può ancora scrivere Mg = (kl)*f(k/MT²) con una funzione f sconosciuta da studiare.

In alcuni casi, per affinare l’analisi dimensionale, è meglio considerare come grandezze diverse le direzioni dei vettori così da avere a disposizione maggiori grandezze.
Esempio 4: Proiettile di massa M lanciato nel piano xy a velocità V di componenti  Vx =Lx/T e Vy= Ly/T e soggetto ad accelerazione di gravità g [Ly/T²] lungo y.
Con l’analisi dimensionale ricaviamo Ly = Vy²/g   [m/s]²[m/s²] Si rileva che l’altezza dipende solo dalla componente Vy,    inoltre nella relazione Ly*g = Vy² (posto g costante) si intravede la relazione che lega la quota con la velocità al quadrato ossia il legame tra energia cinetica ed energia potenziale.
Se si esprimono i tempi lungo i due assi T = Lx /Vx [m]/[m/s] : T = Vy/g [m/s][m/s²] e si uguagliano si ha: Lx /Vx = Vy/g da cui la gittata R = Lx = VxVy/g      Si rileva che la gittata è max se Vx =Vy cioè se la velocità è inclinata di θ = 45°.

L’analisi dimensionale si può applicare alle equazioni differenziali o integrali ricordando che: y’ = dx/dt [m/s] , y” = d²x/dt² [m/s²] … d(dT/dx’)dt = d(dT/dx/dt)dt = dT/dx Se T = [M]: M’ = dM/dt [M/s] , M” = d²M/dt² [M/s²] , dM/dx’ = [Ms/m] d(dM/dx’)dt= dM/dx [M/m] . Per gli integrali ∫ Mdt [Mt] ∫ ∫ Mdt [Mt²] …

Grandezza fisica	Simbolo dimensionale		Grandezza fisica				Simbolo dimensionale
lunghezza	L m		area		A		m²
massa	M		volume		V		m³
tempo	T s		velocità		v		m · s⁻¹
corrente elettrica	I		velocità angolare		ω		s⁻¹ rad · s⁻¹
temperatura	Θ		accelerazione		a		m · s⁻²
quantità di sostanza	N		momento meccanico				N · m = m² · kg · s⁻²
intensità luminosa	J		numero d’onda		n		m⁻¹
			densità		ρ		kg/m³
frequenza		f, ν	hertz	Hz		s⁻¹
forza		F	newton	N				kg m · s⁻²
pressione, sollecitaz		p	pascal	Pa				= kg · m⁻¹ · s⁻²
energia, lavoro, calore		E, Q	joule	J				= kg · m² · s⁻²
potenza, flusso radia		P, W	watt	W				= kg · m² · s⁻³

Analisi dimensionale ed equazioni differenziali Operatori Differenziali

Testo_Longo_Analisi_Dimensionale_e_Modellistica_Fisica.pdf

https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-88-470-1646-0%2F1.pdf

Serie di Fourier …

https://users.dimi.uniud.it/~paolo.baiti/corsi/AA2014-15/EquaDiff/dispense-EqDif-14alpha.pdf

Fisica, matematica

Fourier, onde

08

Apr

2018

Vuoto, Energia e Materia.

programmiexcel

Consideriamo una struttura unidimensionale come la fune, se ad un estremo applichiamo una forza F, per le condizioni di equilibrio la tensione lungo la fune rimane costante.

Consideriamo una struttura bidimensionale come la membrana, se al centro applichiamo una Forza F, per le condizioni di equilibrio, sulla membrana la tensione lineare T diminuisce con la distanza r dal centro secondo la legge lineare T(r) = F/C , dove C = 2*π*r è la circonferenza di raggio r.

Consideriamo una struttura tridimensionale come lo spazio, se in un punto di esso poniamo una carica/massa, per le condizioni di equilibrio, nello spazio il Potenziale U(r) diminuisce con la distanza r secondo la legge quadratica U(r) = 1/S dove S = 4*π*r^2 è la superficie della sfera di raggio r.

In tutti e 3 i casi si osserva che, sia in un mezzo fisico come la fune e la membrana sia nel vuoto, le Tensioni/Forze si distribuiscono/attenuano, rispettivamente, con legge costante, lineare o quadratica in ragione del numero di dimensioni del mezzo fisico in cui si propagano (corda 1-1=0, membrana 2-1=1, spazio 3-1=2). Ad esempio la forza di Coulomb per la carica e la forza gravitazionale di Newton, diminuiscono con il quadrato della distanza in quanto si manifestano in uno spazio a 3 dimensioni. In uno spazio con n dimensioni la tensione diminuisce secondo una legge n-1: T(r) = 1/r^(n-1).

I suddetti esempi possono essere interpretati come: condizioni di equilibrio delle forze/tensioni/potenziali in un mezzo, ossia come l’equazione di continuità di una determinata grandezza fisica che si distribuisce in un mezzo. D’altra parte, secondo il Teorema di Gauss, il flusso totale è sempre lo stesso qualunque sia la superficie chiusa che contiene l’origine del campo radiale.

I campi gravitazionali ed elettrostatici, poiché diminuiscono con il quadrato della distanza, dimostrano che la dimensione dello spazio è tridimensionale.

L’energia potenziale statica generata da una carica o da una massa si considera quell’energia che tale carica o massa possiede a causa della sua posizione o del suo orientamento rispetto a un campo di forze. Tale energia è indipendente dalla sorgente ed è contenuta nello spazio vuoto, in questo caso si parla di densità di energia del vuoto (energia potenziale).

La velocità di propagazione dell’onda v nella corda, di tensione τ e massa per unità di lunghezza μ, è: v = (τ/μ)^½. Si noti che la velocità di propagazione non dipende dalla frequenza delle onde ma dalla proprietà elastica e inerziale del mezzo. La velocità di propagazione in un mezzo elastico è: v = (B/ρ)^½ in cui B è il coefficiente di comprimibilità del mezzo, ρ è la densità volumetrica del mezzo. Nel vuoto la velocità dell’onda di luce ha la stessa forma: c=(1/εμ)^½ in cui ε e μ sono i coefficienti di permeabilità magnetica ed elettrica del vuoto.

Si noti come la tensione, il campo gravitazionale, elettrico, … , si propagano in modo analogo sia nella materia come nel vuoto (tensione nella corda, onde elettromagnetiche, onde gravitazionali).

(P.s.: si ricorda Adriano Paolo Morando schede)

Un problema di cinematica

programmiexcel

Le due Navi e il Gabbiano

Immaginiamo due navi a e b distanti inizialmente D, che si avvicinano con velocità rispettivamente Va e Vb. Vogliamo sapere dopo quanto tempo le due navi si incontrano? Inoltre, se un gabbiano fa avanti e indietro tra le 2 navi con velocità Vp, quant’è lo spazio che percorre prima che le due navi si incontrino?

Cattura0

Se le velocità sono costanti, per calcolare il percorso del gabbiano basta trovare il tempo che impiegano le 2 navi per incontrarsi t = (Va+Vb)/D. Durante questo tempo il gabbiano percorre lo spazio Sp = Vp*t . Ad esempio se la distanza iniziale Do tra le due navi è 10 km, le velocità Va= Vb = 1 km/h e la velocità del gabbiano Vp = 2km/h , si trova: t = (1+1)/10 =5h ed Sp = 2*5 = 10km.

Nella figura il moto è rappresentato nel piano cartesiano spazio-tempo (lo spazio ed il tempo si possono calcolare proiettando i “percorsi” sugli assi spazio e tempo).

Il problema si complica se variano nel tempo le velocità delle 2 navi e del gabbiano, ad esempio: Va= 2-t/5, Vb= 3+0.4*t^2, Vp= 5-t/4. E’ molto difficile, se non impossibile calcolare il sistema. Il programma, grazie al metodo iterativo, disegna le ‘traiettorie’ spazio-tempo delle 2 navi e del gabbiano, e calcola il tempo e lo spazio richiesto.

Nell’esempio a fianco le 2 navi hanno velocità variabili nel tempo, si noti che le traiettorie sono delle curve.

Per descrivere il moto del gabbiano si pone la condizione che la sua velocità Vp è positiva se si muove dalla nave A alla nave B, mentre è negativa (-Vp) nel verso opposto. Tale condizione si esprime Vp = SE(Sp>Sb;-Vp;SE(Sp<Sa;Vp;Vp)), che nel programma diventa: G8= SE(E11>E7;-G7;SE(E11<D7;G7;G8)). Provare a variare le velocità. Scaricare l’esempio da qui.

Crea grafici animati con Excel

programmiexcel

Con Microsoft Excel è possibile creare grafici animati molto personalizzabili:

Creare diverse tipologie di grafico: a torta, a barre, istogramma, a linee, ecc;
Inserire più grafici (range) animati all’interno dello stesso grafico;
Variare la velocità delle animazioni;
Modificare i range delle animazioni.

Per tale scopo si può utilizzare una macro del tipo:

Sub Moto()
Do While Count < 100
Count = Count + 1: [A4] = [A4] + 1
Calculate
ActiveSheet.ChartObjects(“Chart 1”).Activate
If [C4] Then End
DoEvents
Loop
End Sub

La macro costituita da 100 cicli Do Loop ha all’interno la cella A4 aumenta di 1 ad ogni ciclo. La macro termine se la cella C4 = VERO. Principalmente si possono presentare 2 casi:

La serie dati del grafico è costituita da una riga (colonna) di celle che dipendono da una variabile (nel nostro caso la cella A4). Ad ogni ciclo, variando la cella A4, varia la riga di celle creando un grafico in moto.
La serie dati è costituita da enne righe (colonne). Per creare un grafico dinamico, tali righe devono essere rappresentate una alla volta nel grafico. In questo caso è possibile utilizzare, per ogni cella della riga, la funzioni scarto. In tale funzione viene inserita la cella variabile A4, così da ottenere una riga, ad ogni valore di A4. Ad esempio ponendo la cella H3 = SCARTO(A1;0;A4) per A4 = 1,2,3, … tale cella assume i valori A1, B1, C1, …

Nel figura si hanno 2 grafici. Nel 1° grafico (caso a)) si ha 1 serie dati (riga celle a2:q2) che variano con la cella A4. Nel 2° grafico (caso b)) si hanno 15 serie dati [A1:A2], [B1:B2], … Per ogni valore di A4 si ha una rappresentazione di una serie dati.

Il file di esempio di cui sopra è scaricabile QUI.

E’ possibile scaricare grafici dinamici più interessanti su: PROGRAMMI > FUNZIONI CURVE.

Excel, formule, matematica

31

Gen

2016

Il metodo iterativo con Excel

programmiexcel

Introduzione

Con il metodo iterativo di Excel è possibile eseguire facilmente calcoli anche complessi. Ad esempio è possibile esprime l’equazione del moto F = m*a. Nota la massa m e l’accelerazione a(t) (nel tempo t) si può calcolare la velocità V(t) e lo spazio S(t). Infatti, fissando un intervallo di tempo dt (in cui si può considerare a(t) e v(t) costanti) si può scrivere: V1 =Vo+ao*dt S1 =So+Vo*dt avendo indicato con Vo e So i valori iniziali. Incrementando l’accelerazione di dt cioè a1= a(to+dt) si calcolano i nuovi valori: V2 =V1+a1*dt S2 =S1+V1*dt. Iterando si trovano le equazioni del moto V(t) ed S(t).

A fianco è riportato in Excel un esempio di calcolo.

Nella colonna “Eq. del moto”: Nelle celle bianche sono riportati i dati: So = 0, Vo= 1 ed a(t) = 2*t; Nelle altre celle di tale colonna sono scritte le formule (che sono visualizzate sul lato destro) con i valori V(t) e S(t). Nel calcolo è stato definito dt = 0,1. Il calcolo viene iterato con il tasto F9.

Vediamo di comprendere il metodo iterativo Quando una formula fa riferimento direttamente o indirettamente alla propria cella, si verifica un riferimento circolare e il calcolo non viene eseguito se non si attivata la casella di Controllo Iterazioni. Tale calcolo verrà eseguito utilizzando i risultati dell’iterazione precedente. Come già detto tale procedura è utilissima per risolvere, con poche celle, molti calcoli iterativi: integrazioni di funzioni, equazioni di funzioni, equazioni differenziali, ecc..

Impostazione

Come si attiva il procedimento iterativo:

Scegliere Opzioni dal menu Strumenti, quindi scegliere la scheda Calcolo.
Selezionare la casella controllo Iterazioni;
Impostare Numero massimo =1;
Impostare il calcolo su Manuale. (con il Tasto F9 si calcolano le formule di tutte le cartelle di lavoro).

Iterazione.JPG

Con tale impostazione possiamo, scrivere adesso formule con riferimenti circolari. Ad esempio: ponendo la cella [A22] “= [A22]+1”, ad ogni F9 la cella [A22] aumenta di 1.

Alcune regole

Creazione di variabili e di funzioni Per potere utilizzare l’iterazione è necessario che almeno una cella ad ogni iterazione vari il suo valore. Se, ad esempio, poniamo [A22] “=A22+A21”, con [A21] “=0,1” la [A22] ad ogni F9 si incrementa di 0,1. In tal modo abbiamo creato la variabile [A22] .Se scriviamo, allora, nella cella [A23] una formula contenente la variabile [A22] abbiamo reso la cella [A23] funzione della variabile [A22]. Iterando, infatti, n volte con F9 vengono calcolati n valori della funzione.

Reset variabile Con la formula [A22] “=A22+A21” la variabile [A22] ad ogni iterazione si incrementa di A21. Per resettare la variabile e poter ripartire dall’inizio, si può utilizzare una cella “test” scrivendo la formula con la condizione: [A22] “= SE(A21;A22+1;0)” (che significa: se la cella A21=”VERO” (diversa da zero) allora A22=A22+1 (incremento), se invece A21=”FALSO” (uguale a zero) allora A22=0 (azzeramento).

Valore iniziale Per fare iniziare la cella A22 con il valore iniziale xo, inserire tale valore nella condizione: [A22] “= SE(A21;A22+1;xo)” (vedi applicazione).

Posizione delle celle Bisogna tenere presente che nell’iterazione i calcoli vengono eseguiti a partire dalla cella in alto a sinistra. Pertanto si deve fare attenzione a porre la variabile prima della funzione.

Numero Iterazioni Se per il calcolo si pone: Numero massimo = n, ad ogni F9 il programma esegue n iterazioni. Si può, pertanto, utilizzare questa impostazione quando non è necessario conoscere i valori intermedi ma solo il valore finale del calcolo.

Un semplice esempio

Calcolo della serie 0,5^n/2 : Nella celle porre [C4] = 0,5^A6/2 (serie da calcolare) [C5] =SE($B$2;C5+C4;0) (formula per la somma della serie). Ponendo A6 “=A6+1” ad ogni F9 si ha un incremento di A6 di 1, mentre in [C4] viene calcolato un nuovo valore della serie; in C5 tale valore viene sommato agli altri valori della serie.

Considerazioni sul procedimento

E’ facile creare “operatori” senza Macro;
Gli “operatori” è costituiti da poche celle;
Ogni “operatore” può essere copiato copiando le sue celle;
Utilizzando le funzioni logiche di Excel è possibile inserire negli operatori condizioni, e creare collegamenti tra essi;
E’ possibile eseguire contemporaneamente diversi calcoli;
Se i valori calcolati vengono riportati in una tabella, essi potranno essere rappresentati in un grafico (grafico a dispersione).

Tale metodo di calcolo risulta semplice e potente: con poche celle e senza alcuna riga di programmazione si possono calcolare integrali, radici di equazioni, equazioni differenziali, e risolvere contemporaneamente diverse equazioni o sistemi di equazioni differenziali !!! Ritengo che le potenzialità di tale procedimento siano poco conosciute ed utilizzate. Molti altri aspetti devono essere studiati e sviluppati. E’ gradita la partecipazione di visitatori per lo sviluppo di tale procedimento di calcolo.

Molti esempi di calcolo (funzioni, derivate, integrali, equazioni dinamiche discrete, equazioni di La Place, …) sono scaricabili dal sito One Drive.

Excel, matematica, Senza categoria

06

Gen

2015

Il labirinto e gli automi cellulari

programmiexcel

Vedi il post precedente La memoria spaziale della muffa …

Il programma Celle Autome2.xls trova il percorso di uscita del labirinto. Esso prende lo spunto dagli automi cellulari.

Un automa cellulare consiste in una griglia di celle. Per ogni cella è necessario definire l’insieme delle celle che sono da considerare “vicine” alla cella data. Ad esempio, (vedi figura) come celle adiacenti si possono considerare 4, 8, … celle confinanti. Fissiamo inizialmente per ciascuna cella il valore 1 o 0.

Ogni cella decide il proprio stato futuro in base al proprio stato, allo stato delle celle vicine e secondo la regola/condizione scelta .

Ad esempio. Fissato il valore iniziale 1 o 0 delle celle, inseriamo in ogni cella la condizione: se la somma delle celle confinanti è minore o uguale a 1 la cella assume valore 0; se la somma, invece, è maggiore di 1 la cella assume valore 1. Ad ogni step tutte le celle della griglia vengono ricalcolate, tenendo conto delle celle confinanti.

Il labirinto
Alle celle che costituiscono il labirinto (colore blu), gli si da il valore 0; Nelle celle che costituiscono i percorsi del labirinto, (colore rosso), si inserisce la formula che controlla i valori delle celle confinanti: Ad esempio H2 = SE((H1+I2+H3+G2) >= $AN$1;1;0), (con AN1 =2).

se la somma è =1 la cella (a fondo cieco) assume valore 0 e colore bianco;
se la somma è >1 la cella assume valore 1 e colore rosso.

Dopo varie iterazioni vengono colorate di bianco tutte le celle che appartengono ai rami a fondo cieco (rami secchi), mentre rimangono in rosso solo le celle che formano il percorso ed eventuali percorsi chiusi. Si nota, nella figura seguente, che le celle bianche appartengono ai rami con il fondo cieco e non fanno parte del percorso.

Si noti che la casella di controllo Labirinto cambia il valore della cella AN1: 0 o 2.

se AN1 = 0 tutte le celle assumono valore 1-rosso;
se AN1 = 2 le celle la cui somma non è >1 cambiano il valore da 1 a 0-bianche.

Per modificare il labirinto:

Spostare le celle gialle variando il loro valore 1 o 0;
Trascinare le celle bianche e/o le blu. In questo in questo esempio il lavoro eseguito dall’insieme di celle può risultare inaspettato è complesso. Con una semplice formula condizionata che lega fra loro le celle confinanti si riesce a trovare il percorso per uscire dal labirinto. Sembra, apparentemente, che esista una entità superiore che conosca il labirinto.

Il Gioco della vita: Il gioco della vita è costituita da un’infinita griglia bidimensionale di celle quadrate, ognuna delle quali si può trovare in due possibili stati, vivo o morto. Ogni cella può interagire con le sue otto celle adiacenti. Ad ogni step temporale le celle vengono aggiornate secondo le seguenti regole: 1. Ogni cella viva con meno di due vicini vivi muore, a causa di isolamento; 2. Ogni cella viva con due o tre vicini vivi sopravvive; 3. Ogni cella viva con più di tre vicini vivi muore, a causa di sovrappopolazione; 4. Ogni cella morta con esattamente tre vicini vivi diventa una cella viva. Il motivo per cui questo automa ha attratto grande interesse è a causa del sorprendente modo con cui i pattern di celle possono evolvere. Nel gioco della vita si possono osservare esempi di auto-organizzazione e la nascita di comportamenti emergenti.

Conclusioni: Il metodo di lavoro degli automi cellulari può essere applicato ad un sistema formato da un elevato numero di elementi semplici (automi).

In merito all’importanza che viene data agli automi cellulari si segnala Evoluzione Artificiale di Automi Cellulari.

Excel, matematica, Senza categoria

biology, excel, formule

06

Lug

2012

Onde Elettromagnetiche, Sonore e la Memoria dell’Acqua

programmiexcel

LA MEMORIA DELL’ACQUA

Dna, onde e acqua: una scoperta che poggia su fisica, medicina e omeopatia Nel regno animale, l’acqua rappresenta una quota compresa tra il 90-95% negli organismi inferiori e il 70-80% in quelli superiori, uomo in testa. E all’interno delle strutture biologiche, l’acqua si può trovare sia come una molecola sia in forma combinata. In realtà, l’acqua ha ancora molti «segreti», potendo per esempio agire come fattore di risonanza magnetica all’interno delle cellule e riuscire a modificare la sua concentrazione in funzione dell’invecchiamento. Si può dire che siamo fatti d’acqua: il corpo di un bambino è composto di liquidi per l’80%, quello di un adulto per il 60%. Solo negli anziani la percentuale scende un pochino (45%). E il cervello è l’organo che ne ha di più (85%): nelle cellule, tra le cellule, tutt’intorno. Galleggia. Così come nel grembo materno, il feto galleggia nel liquido amniotico.

L’acqua ha una memoria? Voyager, 26 marzo 2012

L’acqua ha una memoria? L’elemento che è all’origine della vita possiede anche una vita propria? La squadra di Voyager indaga sul funzionamento del nostro DNA e sul modo in cui i nostri geni possono trasmettere informazioni proprio attraverso l’acqua. A Parigi, Roberto Giacobbo incontra in esclusiva il premio nobel per la medicina Luc Montagnier, un grande scienziato che sta portando avanti una ricerca unica nel suo genere, una ricerca che potrebbe stravolgere molti dei principi della chimica e della biologia moderne.L’ipotesi di Montagnier, infatti, è che il nostro DNA possa trasmettersi a distanza attraverso onde elettromagnetiche che si diffondono nell’acqua. Un’idea che ha generato un vero e proprio terremoto nella comunità scientifica, proprio per l’autorevolezza di chi l’ha proposta.Voyager ha raccolto e messo a confronto il parere anche di altri studiosi, tra cui due illustri fisici italiani (Emilio Del Giudice e Giuseppe Vitiello), per capire i fondamenti che sono alla base di questa ricerca e quale potrebbero essere le conseguenza, a livello pratico e teorico, di una tale scoperta.

Ovvero, la molecola d’acqua «registra» le onde a bassa frequenza del Dna, le «memorizza» e le trasmette in un certo senso «amplificandole».

Il Dna è in grado di emettere e di trasmettere segnali elettromagnetici di bassa frequenza in soluzioni acquose altamente diluite, le quali mantengono poi «memoria» delle caratteristiche del Dna stesso.

Dal punto di vista chimico, la diluizione è talmente alta che alla fine del processo non rimane nessuna molecola. Da un certo punto in avanti, non si fa altro che diluire acqua con acqua. Per dare un’idea delle proporzioni una diluizione tra le meno estreme equivale a una goccia nell’Oceano Atlantico: un paradosso che sarebbe però spiegato dall’ipotesi della memoria dell’acqua, secondo la quale l’acqua sarebbe in grado di conservare il ricordo delle sostanze da cui è attraversata.

Insomma, il Dna «comunica» all’acqua che memorizza e divulga il messaggio.

vedi anche:

I SEGRETI DELL’ACQUA

Documentario russo sui misteri dell’acqua

Traduzione dal russo all’italiano di Leandro e Ola

CIMATICA

Ernst Chladni notò che il suono influisce sulla materia fisica ed ha la prerogativa di creare schemi geometrici.

Hans Jenny notò che quando venivano pronunciate le vocali delle antiche lingue fenicio-ebraica e sanscrita, la sabbia assumeva la forma dei simboli grafici delle vocali stesse mentre, d’altro canto, le nostre lingue moderne non producevano un analogo risultato !
Come è possibile ? Gli antichi Ebrei e gli Indiani ne erano a conoscenza ?

“Tutto l’universo è un insieme di risonanze armoniche derivanti da un unico suono, un vero e proprio ologramma che si conforma secondo i rapporti delle sue sovrarmoniche o sottoarmoniche, ovvero il rapporto tra le energie sottili e le vibrazioni lente”. (SANGLODEA, 2006).

John Keely: “La forza è la materia liberata, mentre la materia non è nient’altro che la forza cristallizzata”. Göthe: “La Musica è architettura svolta, mentre l’architettura è musica pietrificata”. Leonardo Da Vinci: “A le stesse leggi obbediscono le onde sia de l’acqua sia del suono e della luce”.

Sistemi Dinamici Discreti, Frattali e Caos

programmiexcel

Questo capitolo ha lo scopo di familiarizzare con la teoria dei sistemi dinamici, facendo quasi del tutto a meno dell’apparato matematico.

L’uso della simulazione numerica al calcolatore, sempre più importante nello studio dei sistemi dinamici, costituisce parte integrante di questo processo. Oltre ad allenare fin da subito a mettere le mani sul calcolo scientifico, con tali processi formativi si mira a far nascere, in modo quasi spontaneo, concetti matematici profondi e sottili e vederli all’opera nel concreto, ovvero abituarsi a lavorare con la matematica per analizzare quantitativamente i fenomeni della natura.

I sistemi dinamici discreti, sono delle successioni per ricorrenza e costituiscono un settore della matematica molto vasto e con aspetti sorprendenti.

Nelle 3 immagini sono rappresentati 3 sistemi dinamici realizzati con formule relativamente semplici.

Esempi di sistemi dinamici discreti sono:

Il sistema preda-predatore di Volterra Lotka per la dinamica delle popolazioni
la mappa logistica
la mappa di Hénon
la mappa standard

Concetti basilari comuni a tutti i sistemi dinamici sono i seguenti:

Orbita: è intuitivamente una traiettoria di un sistema dinamico facendo evolvere il sistema per tempi arbitrariamente lunghi;
Punto fisso: un punto nello spazio delle fasi (cioè uno stato) che rimane invariato durante l’evoluzione del sistema;
Attrattore: un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo.

Continua a leggere con SDD Frattali , SDD Impedovo , SDD Wiki .

Calcola i SDD.xls

Crea il Triangolo e i poligoni di Sierpinski con Sierpinski.xls

Crea la Mappa_Logistica.xls

Crea i frattali di Mandelbrot e di Julia con Frattali.xls

Excel, formule, matematica

Grandezza fisica

Simbolo dimensionale

Grandezza fisica

Simbolo dimensionale

lunghezza

L m

area

A

m2

massa

M

volume

V

m3

tempo

T s

velocità

v

m · s−1

corrente elettrica

I

velocità angolare

ω

s−1 rad · s−1

temperatura

Θ

accelerazione

a

m · s−2

quantità di sostanza

N

momento meccanico

N · m = m2 · kg · s−2

intensità luminosa

J

numero d’onda

n

m−1

densità

ρ

kg/m³

frequenza

f, ν

hertz

Hz

s−1

forza

F

newton

N

kg m · s−2

pressione, sollecitaz

p

pascal

Pa

= kg · m−1 · s−2

energia, lavoro, calore

E, Q

joule

J

= kg · m2 · s−2

potenza, flusso radia

P, W

watt

W

= kg · m2 · s−3

Con Microsoft Excel è possibile creare grafici animati molto personalizzabili:

Creare diverse tipologie di grafico: a torta, a barre, istogramma, a linee, ecc;

Inserire più grafici (range) animati all’interno dello stesso grafico;

Variare la velocità delle animazioni;

Modificare i range delle animazioni.

Per tale scopo si può utilizzare una macro del tipo:

Sub Moto() Do While Count < 100 Count = Count + 1: [A4] = [A4] + 1 Calculate ActiveSheet.ChartObjects(“Chart 1”).Activate If [C4] Then End DoEvents Loop End Sub

La macro costituita da 100 cicli Do Loop ha all’interno la cella A4 aumenta di 1 ad ogni ciclo. La macro termine se la cella C4 = VERO. Principalmente si possono presentare 2 casi:

La serie dati del grafico è costituita da una riga (colonna) di celle che dipendono da una variabile (nel nostro caso la cella A4). Ad ogni ciclo, variando la cella A4, varia la riga di celle creando un grafico in moto.

Nel figura si hanno 2 grafici. Nel 1° grafico (caso a)) si ha 1 serie dati (riga celle a2:q2) che variano con la cella A4. Nel 2° grafico (caso b)) si hanno 15 serie dati [A1:A2], [B1:B2], … Per ogni valore di A4 si ha una rappresentazione di una serie dati.

Il file di esempio di cui sopra è scaricabile QUI.

Introduzione

Impostazione

m²

m³

m · s⁻¹

s⁻¹
rad · s⁻¹

m · s⁻²

N · m = m² · kg · s⁻²

m⁻¹

s⁻¹

kg m · s⁻²

= kg · m⁻¹ · s⁻²

= kg · m² · s⁻²

= kg · m² · s⁻³

Sub Moto()
Do While Count < 100
Count = Count + 1: [A4] = [A4] + 1
Calculate
ActiveSheet.ChartObjects(“Chart 1”).Activate
If [C4] Then End
DoEvents
Loop
End Sub

Il labirinto
Alle celle che costituiscono il labirinto (colore blu), gli si da il valore 0; Nelle celle che costituiscono i percorsi del labirinto, (colore rosso), si inserisce la formula che controlla i valori delle celle confinanti: Ad esempio H2 = SE((H1+I2+H3+G2) >= $AN$1;1;0), (con AN1 =2).