Autore archivio: programmiexcel

La Coroncina alla Divina Misericordia

La prima domenica di Pasqua è la: Domenica in Albis. In questa domenica commemoriamo e festeggiamo Gesù Misericordioso. E‘ una festa molto importante perché tu stesso oh Signore l’hai voluta.
gesu-confido-in-teLa Tua Misericordia è il frutto della Croce.
Hai riscattato i nostri peccati con la Tua morte in croce. Ma vano è questo sacrificio se non Ti diamo la possibilità di salvarci con il nostro pentimento.
C’è più gioia in cielo per un peccatore pentito che per cento giusti.
Gesù crede in noi, spera in noi che ci ravvediamo con il nostro pentimento. Il pentimento è un gesto di amore verso noi stessi. Chi non rinuncia al peccato e non si pente si danna e si condanna da sé.
Gesù aspetta con un cuore ardente di misericordia il pentimento di noi peccatori, per incendiare di pace e di amore i nostri cuori.
Celebriamo, allora, questa festa con sentimenti di immensa umiltà, gratitudine e fiducia verso Gesù nostro Salvatore.

La Coroncina alla Divina Misericordia:
(Per la recita si usa una normale corona del rosario)

Nel Nome del Padre, del Figlio e dello Spirito Santo. Amen.
Si inizia con: il Padre Nostro, l’Ave Maria e il Credo.
Credo:
Io credo in Dio, Padre onnipotente, creatore del cielo e della terra; e in Gesù Cristo, suo unico Figlio, nostro Signore, il quale fu concepito di Spirito Santo, nacque da Maria Vergine, patì sotto Ponzio Pilato, fu crocifisso, morì e fu sepolto; discese agli inferi; il terzo giorno risuscitò da morte; salì al cielo, siede alla destra di Dio Padre onnipotente; di là verrà a giudicare i vivi e i morti. Credo nello Spirito Santo, la santa Chiesa cattolica, la comunione dei santi, la remissione dei peccati, la risurrezione della carne, la vita eterna. Amen.
Sui (5) grani maggiori del rosario si dice:
Eterno Padre, io Ti offro il Corpo e il Sangue, l’Anima e la Divinità del Tuo dilettissimo Figlio e Signore Nostro, Gesù Cristo, in espiazione dei nostri peccati e di quelli di tutto il mondo.
Sui (50) grani minori del rosario si dice:
Per la Sua dolorosa Passione, abbi misericordia di noi e del mondo intero.
Alla fine si dice per tre volte:
Santo Dio, Santo Forte, Santo Immortale, abbi pietà di noi e del mondo intero.
Alla fine si dice:
O Sangue ed Acqua che scaturisti dal Cuore di Gesù come sorgente di misericordia per noi, confido in te!
Nel Nome del Padre, del Figlio e dello Spirito Santo. Amen.

Le Promesse di Gesù Misericordioso:

Con questa coroncina otterrai qualsiasi grazia, se quello che chiedi è conforme alla Mia volontà.
La Mia Misericordia avvolgerà in vita e specialmente nell’ora della morte le anime che reciteranno questa coroncina.
I sacerdoti la raccomandino a chi vive nel peccato come una tavola di salvezza.
Se verrà recitata accanto a un moribondo, Mi metterò fra il Padre e l’anima agonizzante non come giusto Giudice, ma come Salvatore Misericordioso.

L’ORA DELLA MISERICORDIA:
Gesù ha raccomandato di recitare la coroncina nell’ora della propria morte, ossia le 3 del pomeriggio, che Lui stesso ha chiamato un’ora di grande misericordia per il mondo intero.
“In quell’ora dice Gesù non rifiuterò nulla all’anima che Mi prega per la Mia Passione”.

L’IMMAGINE DI GESU’ MISERICORDIOSO:
L’anima che venererà questa immagine non perirà, già su questa terra Prometto la vittoria sui suoi nemici e sarà difesa come Mia gloria nell’ora della morte.

LA FESTA DELLA DIVINA MISERICORDIA:
L’anima che la prima domenica dopo Pasqua si confesserà e riceverà degnamente la santa comunione, dopo aver fatto per 9 giorni a partire dal Venerdì Santo una novena usando la Coroncina alla Divina Misericordia, riceverà la grande grazia della remissione totale di tutte le pene e dei castighi.

LA DIFFUSIONE DEL CULTO DELLA DIVINA MISERICORDIA:
A tutti sono dirette due promesse, la prima riguarda la protezione materna in tutta la vita e la seconda riguarda l’ora della morte:
“Tutte le anime che adoreranno la Mia misericordia e ne diffonderanno il culto, queste anime nell’ora della morte non avranno paura, la Mia misericordia le proteggerà in quell’ultima lotta”.

La Divina Misericordia

Il Perdono youtube

 

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Spirituality

16

Ott

2018

Robert Kennedy – Università del Kansas – 1968

Robert Kennedy venne ucciso tre mesi dopo questo discorso, e prima di essere eletto Presidente degli Stati Uniti.

“Non troveremo mai un fine per la nazione né una nostra personale soddisfazione nel mero perseguimento del benessere economico, nell’ammassare senza fine beni terreni.

Non possiamo misurare lo spirito nazionale sulla base dell’indice Dow-Jones, né i successi del paese sulla base del prodotto interno lordo (PIL).

Il PIL comprende anche l’inquinamento dell’aria e la pubblicità delle sigarette, e le ambulanze per sgombrare le nostre autostrade dalle carneficine dei fine-settimana.

Il PIL mette nel conto le serrature speciali per le nostre porte di casa, e le prigioni per coloro che cercano di forzarle. Comprende programmi televisivi che valorizzano la violenza per vendere prodotti violenti ai nostri bambini. Cresce con la produzione di napalm, missili e testate nucleari, si accresce con gli equipaggiamenti che la polizia usa per sedare le rivolte, e non fa che aumentare quando sulle loro ceneri si ricostruiscono i bassifondi popolari.

Il PIL non tiene conto della salute delle nostre famiglie, della qualità della loro educazione o della gioia dei loro momenti di svago. Non comprende la bellezza della nostra poesia, la solidità dei valori familiari, l’intelligenza del nostro dibattere. Il PIL non misura né la nostra arguzia né il nostro coraggio, né la nostra saggezza né la nostra conoscenza, né la nostra compassione né la devozione al nostro paese. Misura tutto, in breve, eccetto ciò che rende la vita veramente degna di essere vissuta.

Può dirci tutto sull’America, ma non se possiamo essere orgogliosi di essere americani”.

(Un discorso ancora valido dopo 50 anni. Il PIL è più sinonimo di Consumismo che di Progresso).

cultura, opinioni, politica, storia

29

Ago

2018

Godel: Matematica coerente ma incompleta.

Vogliamo valutare se questa frase è vera. “Questa affermazione non può essere dimostrata“.

  1.  Se ritengo che essa sia  vera, significa che essa non può essere dimostrata, cioè che non può essere verificata;
  2.  Se ritengo che essa non sia vera, significa che essa può essere dimostrata, cioè che può essere verificata;

Nel caso 1 la frase è vera ma non può essere verificata; nel caso 2) la frase non è vera ma può essere verificata. In entrambi i casi comunque essa è sia vera che falsa.

Analogamente,  “Questa frase è falsa”  :  1 Se ritengo che sia vera significa che è falsa; 2) Se ritengo che non sia vera significa che non è falsa.

Indecidibilità. Queste frasi/formule sono indecidibili, cioè non si può decidere se sono vere o false. Ossia non si può dimostrare nè che la frase-formula (φ) sia vera, né che sia non vera (¬φ).  Si noti che queste frasi sono autoreferenziali, cioè si riferiscono a se stesse. Una teoria matematica si ritiene tale se è sufficientemente espressiva, auto-referenziale e in grado di rappresentare funzioni ricorsive, ovvero se permette di definire i numeri naturali (1, 2, 3, …).

Teoria completa. Una teoria T si definisce completa se è possibile in T dimostrare o confutare formalmente qualsiasi enunciato nel linguaggio della teoria, ovvero se per ogni formula φ è possibile o dimostrare φ   o dimostrare il suo contrario ¬φ. In essa cioè non esistono formule indecidibili.                                                                         Viceversa una teoria T si definisce incompleta se esiste una formula φ  che non è possibile dimostrare o  dimostrare il suo contrario ¬φ. Cioè se al suo interno esistono formule indecidibili ( autoreferenziali).

Teoria coerente (consistente). Una teoria si definisce coerente se in essa è  impossibile dimostrare una contraddizione, (cioè non è possibile dimostrare  che una formula φ sia vera e che sia vera la sua negazione (¬φ). Viceversa una teoria è incoerente se al suo interno è possibile dimostrare una formula contraddittoria, ossia non esiste una formula φ  indecidibile. Ovvero esiste una formula φ per cui è possibile dimostrare tale formula φ e la sua negazione ¬φ.

Primo teorema di incompletezza di Gödel. Come detto sopra, in ogni teoria matematica coerente T è sempre possibile definire una formula logica φ indecidibile,  ossia è sempre possibile definire una formula che non può essere né dimostrata né confutata al suo interno. (La teoria è incompleta in quanto non riesce ha dimostrare una formula  indecidibile). 

Dal fatto che in una teoria coerente-consistente esiste almeno una formula  indecidibile, si dimostra il  Secondo teorema di incompletezza di Gödel:     Nessun sistema coerente (essendo incompleto), può dimostrare la sua stessa coerenza.

Si giunge cioè al risultato sconcertante che ogni teoria matematica coerente è incompleta  e non è autoconsistente, (non può dimostrare la propria consistenza).        In altre parole si dimostra matematicamente che essa riconosce i propri limiti.

Da wikipedia: Il primo teorema di incompletezza di Gödel dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene cioè affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

Ciò che Gödel ha mostrato è che, in molti casi importanti, come nella teoria dei numeri, nella teoria degli insiemi o nell’analisi matematica, non è mai possibile giungere a definire la lista completa degli assiomi che permetta di dimostrare tutte le verità. Ogni volta che si aggiunge un enunciato all’insieme degli assiomi, ci sarà sempre un altro enunciato non incluso.

Consideriamo ad esempio la geometria euclidea composta da 5 assiomi (a proposito si è dimostrato che sono necessari 21 e non 5 assiomi per la nostra geometria euclidea), essa è coerente ma è incompleta in quanto si possono aggiungere altri assiomi.  Se si elimina un assioma, ad esempio il postulato delle parallele,  si ottiene un’altro sistema incompleto ma coerente  (nel senso che il sistema non dimostra tutte le proposizioni vere). L’essere incompleto significa che esso non include tutti gli assiomi necessari a caratterizzare un specifico modello, ma a caratterizzare più modelli (geometria euclidea e geometrie non euclidee).

 

matematica

23

Giu

2018

La trasformata di Legendre

Considerati i punti di una funzione f(x) la trasformata di Legendre g(p) può essere rappresentata come i valori cambiati di segno delle intercette sull’asse y  delle  rette tangenti (inviluppo) alla funzione (curva) f(x) con pendenze p= f’(x)

                         g(p)= max( p*x –f(x))    (1)


legendre(1)In figura la tangente alla f(x)= x2+1 nel punto (0,7; 1,49)  ha pendenza p= f’(0,7) = 2*x = 1,4 e intercetta l’asse y nel punto g(p) = f(xi) – p*xi = 1,49- 1,4*0,7 =0,51.  Sono riportate, in fuxia, altre tangenti  alla f(x)  che intercettano l’asse y in altri punti g(p) e in blu d(g(p))tratteggiata la curva g(p)  . 

La trasformata di Legendre può essere, altresì, definita: Dato un punto f(xs) della curva e considerato il fascio di rette parallele    y(k)= p*x +k    di pendenza    p= f’ (xs), quella che è tangente alla curva deve avere k = f(xs)-p*xs , cioè deve intersecare l’asse y in -g(p). In figura il fascio di rette è:  y(k) = p*x – k  La retta tangente si ha per k = f(xs)-p*xs= 1,25 – 1*0,5 = 0,75 = g(p). 

La trasformata di Legendre è una involuzione cioè se applicata due volte dà il valore originario (ad esempio se si inverte due volte un numero razionale si ottiene il numero di partenza).

Si osserva che se si deriva rispetto alla variabile p la (1):        g(p)= x*p -f(x)     si ricava    x  =  d(g(p))/d(p)   (2)    ricordando che p = f’  si  può scrivere   x  =  d(g(p))/d(f’)   (2a).  Si fa osservare dalla (2a) che, con la trasformata g(p) della funzione f(x), nella derivata  f’ = df(x)/dx,  si inverte la x con la f’ (= p) .         

Vediamo di ricavare la g(p) mediante la (1).

Consideriamo f(x) descritta con il monomio:    f(x) =α*xn  ,  calcoliamo           p = f’(x)  →     p = α*n*xn-1   il differenziale  è: dp = α*(n-1)*n*xn-2*dx    →  x*dp = α*(n-1)*n*xn-1*dx     per la (1)     dg(p) =  x(p)*dp      →     dg(p)  =   α*(n-1)*n*xn-1*dx  =    d(α*(n-1)* xn)     quindi       g(p) = α*(n-1)*xn-1*x  =  α*n*xn-1*x – α*xn  =  p*x –f.                                        La funzione che verifica la (1) è  quindi:  g(p) = p*x-f(x).

Esempio: Consideriamo la funzione in figura f(x)= x2 +1    da cui       g(p) = p*x- x2 -1    il minimo si ha per      g’(p)= p – 2*x = 0     ossia   per     x(p) = p/2        f(p)= p2/4+1.     Se x=0,5 ,    p(0,5) = 1 ,   g(0,5) = 1*0,5- 0,52 -1 = – 0,75.

In analisi funzionale, si ricorda che la Lagrangiana esprime l’energia totale del sistema  L(qi,t) =T – V  (con T E.cinetica e V E.potenziale) mediante le coordinate q(xi,t),  l’hamiltoniana H invece esprime l’energia totale del sistema con le derivate q’ delle coordinate lagrangiane, ossia H(qi‘,t). Cioè l’hamiltoniana  H  costituisce la trasformata di Legendre della lagrangiana  L del sistema:   p = dL/dq’     se si inverte p con q’  si ha:    q = dH/dp’  con la trasformata H = p*q’ – L.

matematica

13

Mag

2018

Legge oraria e … polinomio di Taylor

Polinomi. Se di una funzione y = f(x)  conosciamo n punti (x1, y1);  (x2, y2); …( xn, yn), la funzione più semplice che approssima la f(x) è il polinomio di grado n-1:         Pn-1(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1xn-1   che passa per tali punti. Ad esempio, se si conoscono 2 punti si può scrivere il polinomio di grado 2-1 (equazione della retta) ed imporre la condizione che passi per tali  punti, cioè  il sistema di 2 equazioni con 2 incognite:

  • a0 + a1 x1 = y1
  • a0 + a1 x2 = y2

 Trovati i valori delle incognite a0, a1, si può scrivere l’equazione della retta ossia il polinomio di 1° grado P1(x) :  y = a0 + a1x    (1) .

Se si conoscono n+1 punti possiamo scrivere un sistema di n+1 equazioni con n+1 incognite, calcolare le: a0, a1, … an e quindi :        Pn(x) = a0 + a1x + … +anxn       (2)          Più punti della funzione  y = f(x) si conoscono migliore è l’approssimazione del polinomio alla suddetta funzione.

Rappresentiamo,  adesso, in figura gli addendi del polinomio P2(x) = a0 + a1x + a2x2  (si limita lo studio al polinomio di 2° per brevità di esposizione). I coefficienti ai  hanno un  significato fisico? Consideriamo l’Area del Polinomio (ossia l’area sottesa dal Polinomio tra 0 e x),  il 1° addendo delimita un rettangolo di area A1= x*a0; il 2° addendo un triangolo di area :     A2= x* a1*x/2, il 3° addendo una parabola di area A3= x*a2*x2/3.   L’area  totale è:    A(x) = (a0+a1*x/2+a2*x2/3)*x.

Legge oraria. Se diamo alla funzione polinomiale il significato fisico della funzione accelerazione a(t) = P(t) si vuole  calcolare lo spazio percorso da un punto nel tempo t.  In figura (a) è rappresentata la funzione accelerazione    a(t)= ao+a1*t.    Posto t = t1 – t0 , l’area sottesa da  a(t) con l’asse t  dà  la velocità   v(t) = v2 +v3 = ao *t+ a1*t2/2     (3)   Polinom1

In figura (b) è rappresentata la funzione velocità v(t). L’area sottesa rappresenta lo spazio  s(t) = so+vo*t+ao/2!*t2+ a1/3!*t3     (4)   avendo indicato con so  il valore iniziale. Si evidenzia che: vo rappresenta la velocità v all’istante t= 0  vo= ds/dt= s’o;    ao    l’accelerazione all’istante t= 0 ao = d2s/dt2= s”o  …,  per cui la (4) può  essere riscritta con le derivate in un punto t, ossia come polinomio di Taylor :                                       s(t) = so+s’o*t1+s”o/2!*t2 + s”’o/3!*t3   (4a)

Polinomio/Serie di Taylor. Tale serie, costituita appunto dai valori delle derivate della funzione f(x)  in un punto (continua e derivabile in un punto x), approssimano la funzione f(x):

       y(x) = y+y’ *(x – x0)+y’’/2!*(x – x0)2+ y’’’/3! *(x – x0)3 + …+ yn‘/n!*(x – x0)n    (4b)

Polinomio/Serie di McLaurin. Se scegliamo  x0=0  il suddetto polinomio diventa  di McLaurin:     y(x) =   y(0)+y’(x)*x+y’’(x)/2!*x2+ y’’’(x)/ 3!*x3+ …+ yn’(x)/ n!*xn    (4c)     

Esempio: Data la funzione y(x) = 2*x 2 + x  si vuole calcolare la Serie 
di Taylor  per x0=1.  
Si ha:  y(1) = 3,  y’(1) = 4*x +1 = 5, y"(1) = 4.
y (x) = y + y’*Δx+y"*Δx2/2 = 3+5*Δx+4*Δx2/2 = 3+5*Δx+2*Δx2 
Per x=2, Δx =x-x0= 1   P2(x=2) =  3+5*1+2*12 = 10.
Per x=3, Δx =x-x0= 2   P2(x=3) =  3+5*2+2*22 = 21.
 La Serie di McLaurin:  x0=0 ,  y(0) = 0,  y’(0) = 1,   y"(0) = 4  
 quindi y(x) = y(0)+y’(0)*x+y"(0)/2!*x2 = 0+1*x+4/2*x2  = 2*x2 + x.          

Altro metodo per trovare gli ai. Consideriamo il polinomio  Pn(x) = a0 + a1x + … +anxn    come la somma di n funzioni   yi(x) = aixi  con. Calcoliamo il coefficiente ai derivando la y(x) i volte: y i’ = i!*ai      da cui si ricavano i coefficienti  ai = y i’ /i!   della serie.

Nota: Se si eguagliano i termini della (2) e della (4b) si trovano i valori dei coefficienti ai: a0 =y, a1 =y’/1!, a2=y”/2!, … an=yn’/n!. Si osserva infatti che la derivata di ai*xi é: i*ai*xi-1 e che la derivata i-esima di ai*xi é : yi’ = i!*ai.

Fisica, matematica

01

Mag

2018

Analisi Dimensionale e Formule Fisiche

L’Analisi Dimensionale è un facile e potente strumento utilizzato nei fenomeni fisici per studiare le relazioni tra le varie grandezze dimensionali e ricavare nuove formule.  Se abbiamo ad esempio una corda e conosciamo la sua lunghezza, densità,  …  da tali dati con l’analisi dimensionale  è possibile trovare la  formula ad esempio della frequenza di oscillazione o la velocità di propagazione della tensione. Le formule relazioni sono  ricavate a meno di costanti adimensionali e devono essere  verificate con  esperimenti, anche al fine di determinare la  suddetta costante adimensionale.

                    Vedi.   https://it.wikipedia.org/wiki/Analisi_dimensionale

Considerato che le formule dimensionali si creano moltiplicando e/o dividendo le grandezze fisiche fondamentali è utile ricordare alcune regole sulle potenze:

  1. nel prodotto di grandezze uguali gli esponenti si sommano m1*m2 = m3;
  2. se si inverte una grandezza m1 il suo esponente cambia di segno 1/m = m-1;
  3. una grandezza con esponente 0 è uguale all’unità: m0 = 1;
  4. la potenza di una potenza è uguale al loro prodotto [s2]1/2  = s1.

Riportiamo alcuni esempi in cui si ricavano delle formule fisiche note. E’ possibile  comunque ricavare formule anche di fenomeni fisici non conosciuti sempre da verificare con esperimenti.

Esempio 1: Un pendolo di lunghezza l [m] e massa M [M], è soggetto ad accelerazione di gravità   g [m*s-2],   qual’è il tempo di oscillazione del pendolo?    pendolo     Per trovare il tempo [s] gli ingredienti da scegliere sono l’accelerazione g in cui il tempo è presente con potenza -2, e la lunghezza l [m] per annullare la lunghezza contenuta nell’ accelerazione.  Si scrive:          l/g [s2*m-1] [m] = [s2]   da cui la radice  t = ( l/g )1/2  [s]    (1)

A meno di un coefficiente adimensionale risulta che il tempo non dipende dalla massa ma dall’accelerazione di gravità e dalla lunghezza del pendolo.

Dividendo 1° e 2° membro della (1) per il tempo si ottiene la grandezza adimensionale    (l/gt2)1/2 = 1  che assicura la correttezza dimensionale della  formula.

Esempio 2: Una corda avente lunghezza l [m] e massa per unità di lunghezza ρ [M/m] è soggetta ad una forza F [M*m/s2]. Quale la velocità di propagazione v [m/s] della tensione lungo la corda?    fune
Le grandezze  da considerare sono quelle che contengono m ed s , quindi consideriamo l’inverso 1/ρ [m/M] e la forza  F [M*m/s2] 
F/ρ [M*m/s2][m/M] = [m2/s2]  (2)               →       v = (F/ρ)1/2   [m/s]         Si trova che la velocità di propagazione v della forza lungo la corda dipende dalla tensione e dalla massa per unità di lunghezza. Essa  aumenta con la tensione della corda e diminuisce con la densità della corda.

Qual’è la frequenza f  di oscillazione della corda? Se dividiamo la velocità v [m/s] per la lunghezza della corda l [m] ricaviamo la frequenza f = (F/ρl2)1/2  [1/s] . Si trova che la frequenza di oscillazione aumenta con la tensione/forza F, mentre diminuisce con lo  spessore e, soprattutto, con la lunghezza (si pensi a come varia la frequenza della corda di una chitarra).

Esempio 3: Ad una molla di costante elastica k [M/s2] è appesa una massa M [M] su mollacui agisce una accelerazione g [m/s2].                 Qual’è la lunghezza l [m] di elongazione della molla?    Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita l [m] e le grandezze note k, M, g elevate alle potenze incognite  a, b, c, d:   ka*Mb*gc*ld =1      [M/s2]a[M]b[m/s2]c[m]d =1 →  Ma/s2aMbmc/s2cmd =1 
Per essere verificata l’equazione le somme degli esponenti di ogni grandezza fondamentale (M, s, m) devono essere zero:         Mas-2aMbmcs-2cmd =1       →                        Ma+bs-2a-2cmc+d =1            quindi:                       a+b=0;                -2a-2c=0;              1c+1d=0          →                 b = -a;               c= -a;              d= -c = a            posto      a= 1    →      b= -1,     c= -1,     d= 1       →            k1*M-1*g-1*l1 =1      →      cioè    l = M*g/k               Si trova che l’elongazione L della molla è proporzionale alla forza di gravità M*g e inversamente proporzionale alla costante elastica k.   

Qual’è il tempo di oscillazione T [s]?  Scriviamo l’equazione adimensionale in cui inseriamo l’incognita T [s] :      ka*Mb*gc*Td = 1     cioè    [M/s2]a[M]b[m/s2]c[s]d = 1             Troviamo i valori degli esponenti a, b, c, d   la cui somma, per ogni grandezza, sia 0

  • per M: a+b=0;            per m: c =0                 per s:    -2a+d=0;
  • da cui       b = -a;              c =0           d= 2a.                Posto      a= 1    →        b= -1        c= 0      d= 2      k1*M-1*g0*T2 = 1     →   T = (k/M) 1/2                        Si ricava che il tempo T di oscillazione dipende da k e da M ma, a differenza  del pendolo,   non dalla gravità g.

 Teorema di Buckingham Se in un fenomeno fisico intervengono “n” grandezze ed “m” è il numero delle grandezze fondamentali, il legame tra le “n” grandezze è riconducibile ad un legame tra “n-m” numeri puri.

Nell’esempio della molla sono presenti n = 5 grandezze fisiche:  k, M, g, l, s  ed m =3 grandezze fondamentali: M, m, s. Per il teorema suddetto si possono ricavare  n – m = 5-3 = 2 grandezze adimensionali:

    Mg/kl  = 1        e         k/MT2 = 1    e con esse una funzione F(Mg/(kl) , k/(MT2)) = 0  Cioè è possibile rappresentare il sistema in esame con una funzione F composta da due gruppi adimensionali, ossia descrivere il fenomeno con un unico grafico: una grandezza adimensionale in ascissa e una grandezza adimensionale in ordinata.         Si può ancora scrivere Mg = (kl)*f(k/MT2) con una funzione f  sconosciuta da studiare.

In alcuni casi, per affinare l’analisi dimensionale, è meglio considerare come grandezze diverse le direzioni dei vettori così da avere a disposizione maggiori grandezze.proiettile
Esempio 4: Proiettile di massa M lanciato nel piano xy a velocità V di  componenti  Vx =Lx/T e Vy= Ly/T  e soggetto ad accelerazione di gravità g [Ly/T2] lungo y.
Con l’analisi dimensionale ricaviamo   Ly = Vy2/g   [m/s]2[m/s2]   Si rileva che l’altezza dipende solo dalla componente Vy,    inoltre nella relazione  Ly*g = Vy2 (posto g costante) si intravede la relazione che lega la quota con la velocità al quadrato ossia il legame tra energia cinetica ed energia potenziale.
Se si esprimono i tempi lungo i due assi  T = Lx /Vx [m]/[m/s] : T = Vy/g [m/s][m/s2]  e si uguagliano si ha:   Lx /Vx = Vy/g  da cui la gittata R = Lx = VxVy/g      Si rileva che la gittata è  max  se Vx =Vy cioè se la velocità è inclinata di θ = 45°.

L’analisi dimensionale si può applicare alle equazioni differenziali o integrali ricordando che:  y’ = dx/dt  [m/s]   ,   y” = d2x/dt2  [m/s2]    …     d(dT/dx’)dt  = d(dT/dx/dt)dt  =  dT/dx   Se   T = [M]:    M’ = dM/dt [M/s]   ,    M” = d2M/dt2  [M/s2]   ,    dM/dx’ = [Ms/m]  d(dM/dx’)dt= dM/dx  [M/m] .   Per gli integrali    ∫ Mdt  [Mt]       ∫ ∫ Mdt  [Mt2]   …

Grandezza fisica
Simbolo dimensionale
Grandezza fisica
 
Simbolo dimensionale
lunghezza
L  m
area
A
m2
massa
M
volume
V
m3
tempo
T  s
velocità
v
m · s−1
corrente elettrica
I
velocità angolare
ω
s−1
rad · s−1
temperatura
Θ
accelerazione
a
m · s−2
quantità di sostanza
N
momento meccanico
N · m = m2 · kg · s−2
intensità luminosa
J
numero d’onda
n
m−1
densità
ρ
kg/m³
frequenza
f, ν
hertz
Hz
s−1
forza
F
newton
N
 kg m · s−2
pressione, sollecitaz
p
pascal
Pa
= kg · m−1 · s−2
energia, lavoro, calore
E, Q
joule
J
= kg · m2 · s−2
potenza, flusso radia
P, W
watt
W
= kg · m2 · s−3

Analisi dimensionale ed equazioni differenziali  Operatori Differenziali

Testo_Longo_Analisi_Dimensionale_e_Modellistica_Fisica.pdf

https://link.springer.com/content/pdf/bbm%3A978-88-470-1646-0%2F1.pdf

Serie di Fourier …

https://users.dimi.uniud.it/~paolo.baiti/corsi/AA2014-15/EquaDiff/dispense-EqDif-14alpha.pdf

Fisica, matematica

,

08

Apr

2018

La luce come Sistema di Riferimento Assoluto.

Il Sistema di Riferimento Luce e l’effetto Sagnac.

 

PREMESSA: Sebbene l’effetto Sagnac sia noto da oltre 100 anni e sia utilizzato in diverse applicazioni esso  viene considerato un fenomeno fisico scomodo e mal digerito dalla comunità scientifica, in quanto si pone in contrasto con  la Teoria della Relatività Ristretta. Esso, a differenza della RR che considera tutti i sistemi relativi, dimostra  che esiste un sistema di riferimento assoluto. 

Ci si pone la domanda: può un osservatore all’interno del proprio sistema verificare il suo movimento?  La domanda non è completa in quanto non specifica rispetto a cosa il sistema è in moto. Sappiano che la velocità della luce (come ha scoperto Maxwell) dipende dalle proprietà del mezzo  in cui essa si propaga. Se lo spazio è isotropo (uguale in ogni direzioni) anche la luce ha la stessa velocità in ogni direzione.  La luce cioè non viene “trascinata” dal moto della sorgente o dall’etere. Premesso ciò, consideriamo   una  sorgente che, nell’istante to= 0  e in un punto O dello spazio, emette un lampo di luce. Indipendentemente dal moto della sorgente dal centro O si propaghera’ una sfera di luce  di  velocità c, che nell’istante t  avrà raggio d= t*c.  Quanto sopra si verifica ogni volta che una qualsiasi sorgente luminosa emette delle radiazioni. Si ritiene allora possibile considerare questo sistema di riferimento come “assoluto”,  in quanto solo in tale sistema i raggi viaggiano (senza contrazione spaziale e dilatazione temporale) con la stessa velocità in ogni direzione. Si ripropone allora la domanda in questi termini: supposto che esista un sistema di riferimento”privilegiato”, può un osservatore all’interno del proprio sistema verificare il suo movimento rispetto a tale sistema privilegiato?  Se un osservatore S0 con la sua sfera è solidale a tale sistema dovrebbe vedere i raggi arrivare alle pareti della sfera nello stesso istante. Se l’osservatore S’ è in  moto rispetto a tale sistema dovrebbe, invece, rilevare che su una parete il raggio arriva prima dell’altro raggio sull’altra parete.

Negli articoli Relatività Ristretta e Diagramma… di Minkowski osserviamo che i 2 raggi che vanno verso le pareti, qualunque sia la velocità v del sistema, partono e ritornano al centro della sfera nello stesso istante, mentre toccano le pareti in istanti diversi, dipendenti dal moto del sistema. Considerato che la velocità  della luce è costante possiamo prendere come termine di misura  proprio i due istanti di tempo è scegliere come privilegiato quel sistema che ha tali tempi simultanei.  La relatività ristretta, che si basa in definitiva sulla relatività della simultaneità di 2 eventi  in quanto dipendente dal moto del sistema, ritiene che non esista un sistema di riferimento privilegiato in quanto i raggi di luce, compiendo un percorso di andata e ritorno, arrivano sempre insieme. Secondo  Selleri e Serafini  solo considerando la velocità della luce “di solo andata”  possiamo discriminare il sistema privilegiato. Se consideriamo la velocità della luce “di andata e ritorno” infatti troviamo che la velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento inerziali (come affermato nel principio di relatività di Einstein). Selleri afferma quindi che esiste una solo sistema di riferimento inerziale in cui la luce si propaga in maniera isotropa,  ossia che la velocità della luce rimane sempre la stessa esclusivamente in questo sistema inerziale “privilegiato” e l’esperimento Sagnac ne è la prova. 

 L’esperimento di Sagnac considera due raggi che si propagano in opposte direzioni in un percorso di solo andata. L’effetto Sagnac  è il fenomeno di diffrazione creato da due raggi di luce che in un discoin rotazione effettuano percorsi circolari in direzioni opposte. Se il disco è  fermo (non in rotazione) i due raggi arrivano nello stesso istante nel punto di partenza del disco e non si ha diffrazione. Se è  in rotazione, poiché il punto di partenza ruota un raggio arriva prima dell’altro in tale punto per cui  si crea una diffrazione. Esso è la prova sperimentale che esiste un sistema di riferimento privilegiato in cui la luce si propaga in maniera isotropa (nessuna diffrazione). L’ effetto  Sagnac è utilizzato in varie strumentazioni come il laser giroscopio anulare per la navigazione e nel GPS in cui bisogna tener conto dell’effetto Sagnac proprio perché la tecnica di trasmissione del segnale è “di solo andata”. Selleri e Serafini parlano di una rilettura e modifica del principio di Einstein in questi termini: “la velocità di andata e ritorno della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali”. Essi affermano che sarebbe questa l’unica, soddisfacente e significativa formulazione del principio di costanza della velocità della luce, e che l’effetto Sagnac ne costituisca la prova sperimentale.

Il giroscopio laser anulare sfrutta l’effetto Sagnac per la determinazione della velocità angolare. Il fascio laser entra nell’anello nel punto A e viene diffuso sia nella direzione oraria che in quella antioraria. Se l’anello (interferometro) è fermo, i due fasci di luce si incontreranno nel punto A, dopo un tempo uguale dato da t = 2pr/c  dove r è il raggio del percorso circolare e c la velocità della luce. Al contrario se il sistema fisico è in rotazione, ad esempio nel verso orario, con velocità angolare W intorno ad un asse passante per il centro C e perpendicolare al piano dell’interferometro, i due fasci impiegheranno tempi diversi per ritornare in A, dal momento che il punto A ruota per cui fascio orario deve percorrere un po’ più di 2pr/c  e quello antiorario un po’ meno. Tale differenza di tempo crea con detti raggi una  figura di interferenza  da cui si può ricavare la velocità angolare del giroscopio (e della navicella con cui esso è solidale) rispetto al Sistema Luce..  Analogamente un interferometro lineare posto in  sistema in moto può sfruttare l’effetto Sagnac (utilizzando due fasci laser inviati in direzioni opposte) per la determinare la velocità lineare del Sistema rispetto al Sistema Luce.

ESPERIMENTO 1: Sappiamo che a causa del moto della Terra rispetto alla luce delle stelle  si verifica il fenomeno dell’aberrazione luminosa. Su youtube sono stati considerati dei fotoni con direzione verticale (provenienti dalle stelle) . I fotoni che possono essere osservati da un cannocchiale in moto con velocità v (ossia i fotoni che arrivano sul fondo del cannocchiale), hanno un angolo di aberrazione/inclinazione i= v/c. Mentre se il cannocchiale fosse fermo (v=0) i fotoni osservabili sarebbero i fotoni verticale e l’aberrazione sarebbe nulla. Se conosciamo la direzione dei fotoni e l’angolo di aberrazione, possiamo calcolare la velocità del nostro sistema in moto.    Nel filmato  viene emesso un fotone lungo una direzione. Tale fotone riesce ad attraversare un tubo/condotto, solidale con il nostro sistema in moto con velocità v, se la direzione del fotone ha una inclinazione i= v/c rispetto alla direzione del tubo. Il valore dell’aberrazione/inclinazione dà la componente, ortogonale alla direzione del tubo,  della velocità v  del sistema rispetto alla luce. Analogamente possiamo calcolare le altre 2 componenti ortogonali e ricavare la velocità del nostro sistema nello spazio. L’aberrazione della luce, a mio parere, contraddice il 2° principio della relatività secondo cui la velocità della luce è costante in tutti i sistemi di riferimento (cioè una persona sia da ferma sia che in movimento percepisce la stessa velocità della luce). L’aberrazione luminosa infatti fa percepire la luce in una direzione diversa dalla direzione effettiva a causa del movimento v dell’osservatore.  La direzione risultante r = c-v (differenza vettoriale della velocità luce c e della velocità  dell’osservatore v), costituisce la velocità vettoriale della luce percepita dall’osservatore.

ESPERIMENTO 2: Consideriamo un sistema di riferimento inerziale, si vuole mettere in relazione tale sistema con  il “particolare” Sistema Luce. Sfera Sistema RiferimentoSupponiamo che il nostro sistema sia costituito da una sfera in moto con una ipotetica e sconosciuta velocità v    (che vogliamo determinare) rispetto   al “Sistema Luce“.      Se dal centro B della sfera si emettono dei raggi di luce in direzioni opposte, lungo la direzione del moto;  rispetto al “Sistema Luce” la parete A si avvicina al centro mentre la C se ne allontana.    Problema cruciale è  la sincronizzazione dei 2 orologi.  Per calcolare i tempi  ta e tc è necessario sincronizzare 2 orologi.  Possiamo sincronizzare i 2 orologi al centro della sfera, quindi trasportarli lentamente e con uguale velocità alle 2 pareti, così da avere dei rallentamenti trascurabili  e comunque uguali nei due orologi. Si dovrebbero quindi calcolare i tempi:

  • per il raggio da B ad A: c*ta+v*ta = L      →    ta = L /(c+v)       (5a)
  • per il raggio da B a C: c*tc – v*tc = L       →    tc = L /(c-v)       (5b)

Poichè  tc – ta = Δt    sottraendo membro a membro si ha :  Δt =  L*(1/(c-v) -1/(c+v)) = 2*v* L/(c²-v²)  ≈ 2*v*L/c²   da cui   v = Δt *c² /2L   (6) .  In dette relazioni nella 1a iterazione si considera nulla la  contrazione della lunghezza. Nella 2a iterazione si tiene conto della v di 1a approssimazione,  quindi  affinare il calcolo con un processo iterativo. Non è superfluo rilevare che tale velocità viene calcolata non considerando altri sistemi esterni: le misure di tempo e di spazio  sono state effettuate con orologi  e con l’asta  solidali  del sistema. Supponendo che la Terra (ruotando attorno al sole, che a sua volta ruota attorno al centro della galassia …) abbia una velocità v = 3.*000 m/secondo, posto L = 1.000 mt. per la (6)  si dovrebbe misurare una differenza di tempo Δt = 2*3.000* 1.000/(9×10^18)  = 6/9* 10^-12 secondi. Mentre se si misura, ad esempio, un  Δt  = 10^-10  dalla  (6) si trova una velocità  v  =  Δt*c² / 2*L =  10^-12* 9*10^18/2.000 = 4.500 m/s. Gli orologi atomici al cesio che hanno una precisione dell’ordine di 10^-16 sarebbero in grado di rilevare tale differenza di tempo e misura pertanto la velocità del sistema rispetto al Sistema Luce, unico sistema di riferimento privilegiato in cui la luce si propaga in maniera isotropa.

Un’altro metodo  di calcolo è quello di considerare le diverse velocità di avvicinamento tra  raggi e parete anteriore e posteriore:

  • velocità  raggio-paretepost: v1 = (c+v)/(1+v*c/c2)    →    v1 = (c+v)/(1+v/c)   =  c*(c+v)/(c+v) → v1 = c;
  •  velocità raggio-pareteant: v2 = (c-v)/(1+v*c/c2) → v2 = (c-v)/(1+v/c) →   v2 = c*(c-v)/(c+v).

Indicato con r il raggio della sfera, si hanno i tempi:  t1 = r/v1 = r/c   e  t2 =  r/v2 =  r/c*(c+v)/(c-v)   posto  t1/t2 = Δ   si ha:  Δ = (c-v)/(c+v)      (1)       da cui si ricava                      v = c*(1-Δ)/(1+Δ)     (2)   Misurati i tempi t1 e t2,  si ricava Δ, e con la (2) la velocità v che il sistema sfera avrebbe rispetto al Sistema di Riferimento Luce.

L’esistenza di un sistema di riferimento assoluto quale è il Sistema Luce implica l’esistenza di un tempo assoluto, di uno spazio assoluto e di una velocità assoluta. Tutti i sistemi inerziali possono riferirsi infatti a tale sistema di riferimento privilegiato. Noto tale sistema di riferimento può essere calcolata la “reale” energia cinetica dei corpi

Si veda:

Teorie alternative alla Relatività e alla  natura  del tempo. 

https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.sisfa.org/wp-content/uploads/2013/03/16-34Selleribari.pdf&ved=2ahUKEwjsxZP2gZrkAhXKwKQKHU1xDJAQFjAHegQIARAB&usg=AOvVaw0lnRK426BMZjZbG_oUUhuW

http://cdlfbari.cloud.ba.infn.it/wp-content/uploads/file-manager/CIF/Triennale/Tesi%20di%20laurea/13-14-FRANCHINI%20Giovanni.pdf

http://www.giuseppevatinno.it/wordpress/?p=1669.

http://www.brera.unimi.it/sisfa/atti/1996/selleri.htm.

Fisica, Relatività

31

Mar

2018